BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点
1041: [HAOI2008]圆上的整点
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Description
求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。
Input
只有一个正整数n,n<=2000 000 000
Output
整点个数
Sample Input
4
Sample Output
4
HINT
Source
一道几何数学好题。
根据圆的方程，$X^{2}+Y^{2}=R^{2}$
可以变形得到，$Y^{2}=R^{2}-X^{2}$
根据平方差公式，$Y^{2}=(R+X)*(R-X)$
左右取算数平方根，$Y= \sqrt{(R+X)*(R-X)}$
设$d=gcd(R+X,R-X)$，即$d$为$R+X$和$R-X$的最大公约数
设$A=\frac{R-X}{d}$，$B=\frac{R+X}{d}$，那么显然有$A$和$B$互质
那么$Y=d*\sqrt{A}*\sqrt{B}$，为了让$Y$为整数，显然需要$\sqrt{A}$和$\sqrt{B}$为整数
设$a=\sqrt{A}$，$b=\sqrt{B}$，有$a$和$b$不等且互质，$a \lt b$
$A+B=a^{2}+b^{2}=\frac{R+X}{d}+\frac{R-X}{d}=\frac{2R}{d}$
那么$d$需要是$2R$的约数，这个可以$\sqrt{2R}$的枚举
对于一个$d$，再枚举$a$，注意$2a^{2} \lt a^{2}+b^{2}=\frac{2R}{d}$
所以$a$只需要在$\sqrt{\frac{R}{d}}$的范围内枚举
注意最后加上坐标轴上的4个整点
1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 typedef long long lnt; 4 5 using namespace std; 6 7 lnt gcd(lnt a, lnt b) 8 { 9 return b ? gcd(b, a % b) : a; 10 } 11 12 signed main(void) 13 { 14 lnt R, ans = 0; scanf("%lld", &R); 15 16 for (lnt d = 1; d*d <= (R << 1); ++d) 17 if ((R << 1) % d == 0) 18 { 19 for (lnt a = 1; a*a <= R/d; ++a) 20 { 21 double b = sqrt((2*R) / d - a*a); 22 lnt bb = floor(b); 23 if (b != bb) 24 continue; 25 if (gcd(a, bb) != 1) 26 continue; 27 if (a != b) 28 ++ans; 29 } 30 31 if (d*d != 2*R) 32 for (lnt a = 1; a*a <= d/2; ++a) 33 { 34 double b = sqrt(d - a*a); 35 lnt bb = floor(b); 36 if (b != bb) 37 continue; 38 if (gcd(a, bb) != 1) 39 continue; 40 if (a != b) 41 ++ans; 42 } 43 } 44 45 printf("%lld\n", ans*4 + 4); 46 }
@Author: YouSiki
