BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

 

Source

版权所有者：莫涛

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莫队算法，就是思考一下怎么算概率。

对于一个询问区间[l,r]，首先分母应该是(r-l+1)*(r-l)，也就是总的选择方案数（考虑选择的先后）。对于一种颜色i，如果它的出现次数是cnt[i]，选取两次这种颜色的方案数是cnt[i]*(cnt[i]-1)。总的合法选取方案数就是Sum(cnt[i]*(cnt[i]-1))，由于Sum(cnt[i])就是区间长度，可以对方案数提取出一个Sum(cnt[i])=(r-l+1)，那么最终的分子可以写成Sum(sqr(cnt[i]))-(r-l+1)，只需要维护各个颜色出现次数的平方和即可。

 

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long longint;

template <class Int> 
Int gcd(Int a, Int b) {
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

const int maxn = 50000 + 5;

int n, m;
int l, r, s;
int col[maxn];
int cnt[maxn];
longint answer;

struct query {
    int l, r, id;
    longint a, b;
}qry[maxn];

inline bool cmp_lr(const query &a, const query &b) {
    if (a.l / s != b.l / s)
        return a.l < b.l;
    else
        return a.r < b.r;
}

inline bool cmp_id(const query &a, const query &b) {
    return a.id < b.id;
}

inline longint sqr(int t) {
    return (longint)(t) * (longint)(t);
}

inline void remove(int t) {
    answer -= sqr(cnt[t]);
    --cnt[t];
    answer += sqr(cnt[t]);
}

inline void insert(int t) {
    answer -= sqr(cnt[t]);
    ++cnt[t];
    answer += sqr(cnt[t]);
}

inline longint calc(int t) {
    return (longint)(t + 1) * (longint)(t);
}

inline void solve(void) {
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        while (l < qry[i].l)remove(col[l++]);
        while (l > qry[i].l)insert(col[--l]);
        while (r < qry[i].r)insert(col[++r]);
        while (r > qry[i].r)remove(col[r--]);
        longint len = qry[i].r - qry[i].l + 1;
        qry[i].a = answer - len;
        qry[i].b = len*(len - 1);
    }
}

inline void print(void) {
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        longint g = gcd(qry[i].a, qry[i].b);
        printf("%lld/%lld\n", qry[i].a / g, qry[i].b / g);
    }
}

signed main(void) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", col + i);
        
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        scanf("%d%d", &qry[i].l, &qry[i].r), qry[i].id = i;
        
    s = sqrt(n); l = 1; r = 0;
    
    std::sort(qry + 1, qry + 1 + m, cmp_lr); solve();
    std::sort(qry + 1, qry + 1 + m, cmp_id); print();
}

 

@Author: YouSiki