笔记：洛谷 P3985 不开心的金明

算法笔记: [背包问题] 洛谷P3985 不开心的金明

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不开心的金明

Description

  金明今天很不开心，家里购置的二手房就要领钥匙了，房里并没有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他不高兴的是，妈妈昨天对他说：“你需要购买哪些物品，怎么布置，你说了不算（有很大的限制），而且不超过W元钱。”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的W元。于是，他把每件物品规定了一个重要度整数$p_i$表示。他还从因特网上查到了每件物品的价格$v_i$（都是整数元）。
  妈妈看到购物单后进行了审查，要求购物单上所有的物品价格的极差（最贵的减去最便宜的）不超过3（当然金明至今不知道为什么会这样）。他希望在不超过W元（可以等于W元）的前提下，使购买的重要度总和$\sum p_i$的最大。
  请你帮助金明设计一个满足要求的购物单，你只需要告诉我们重要度的最大的和。

Input Format

  输入的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
n W （其中W表示总钱数，n为希望购买物品的个数。）

  从第2行到第n+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数v p （其中v表示该物品的价格，p表示该物品的重要度）

Output Format

  输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的重要度的总和的最大值

I/O Sample #1

Sample Input #1

5 10
2 800
5 400
5 300
3 400
2 200

Sample Output #1

1600

Hint

$1\le N\le 100$
$1\le W\le {10}^9$
$1\le vi\le {10}^9$

对所有的 $i=1,2,3,\dots ,N$，$min(v_i)\le v_i\le min(v_i)+3$.
$1\le p_i\le {10}^7$

疑惑的来源

  起初我只是把它当作简单的背包问题，但是观察了数据规模后发现商品的单价$v_i$和限制的总价格$w$过于庞大，以至于无法开出这么大规模的数组dp[w]，所以解法势必根据数据规模进行优化。而我发现有以下两种解法：

解法一 优化价格 使用三维数组dp[i][w][k]（恰当的解法）

优化价格

  找出商品中的最小价格$minp$， 然后将每个价格减去最小价格：$p_i-minp$， 由于题目限制商品价格的极差不大于$3$，那么这样处理过后的商品价格只有$p{‘}_i=0,1,2,3$这几种情况，同时商品总价$w$也被压缩成$sumv=\sum _{i=1}^n{p}_i^{\prime }$.

使用三维数组dp[i][w][k]

首先描述一下数组dp各个维度的意义

• i表示遍历到第i个商品时的状态
  对于遍历到的每一个物品,金明都可以选择买或者不买
• w表示当前的预算大小
  相当于子背包或者子问题,最终问题的答案(即在金明妈妈给出的预算内怎么买商品)由较小预算的状态推演过来.
• k表示购买的商品数量
  例如当dp[5][10][4]表示金明希望购买5件商品,但妈妈只给出10块钱预算的情况下,买4件商品的最优方案.(可能不存在)

如何遍历三维数组dp[][][]

直接上代码

// 从清单中逐一挑选商品
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    /*
        由于我们不知道优化后的总预算是多少,
        所以这里暂且用优化后的商品总价代替.
    */
    for (int j = sumv; j >= p[i]; j --)
        // 购买数量亦是状态里的一部分
        for (int k = n; k >= 1; k --)
            // 确保不超出预算则更新状态
            if ((long long) minv * k + j <= w)
                // 在此处更新dp的状态
                dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i][j - p[i]][k - 1] + c[i]);
            else
                // 没得选择
                dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];

然后就是状态转移方程

dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i][j - p[i]][k - 1] + c[i]);

状态方程的具体意思是,当前dp[i][j][k]的取值由买和不买决定:
 如果买,则取值为上一个商品i - 1的各种状态中,花费j - p[i],共购买了k件商品的状态,由该状态下的重要度加上当前商品的重要度,即dp[i][j - p[i]][k - 1] + c[i]为取值;
 如果不买或者超出总预算(else中的语句),则直接继承上一个商品i - 1同维度下的状态即可.
总之,可买可不买取其大者,买不了则继承之前的状态.

其实还有优化的余地:滚动二维数组

以下是优化后的代码

for (int j = sumv; j >= p[i]; j --)
    for (int k = n; k >= 1; k --)
        if ((long long) minv * k + j <= w)
            dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - p[i]][k - 1] + c[i]);

优化后尤其要注意状态维度的遍历顺序,因为维度i被优化掉了,那么更新状态时,数组dp[][]中同时存在着新旧状态,新状态需要由旧状态中的小者更新而来,所以我们倒序遍历各个状态维度,即可保证还未被转移的旧小状态,不会被新小状态替代.

解法二 01背包 + 贪心（不太恰当的解法）

  根据数据规模的大小,分别采用两种方法,当规模较小时,按照普通的01背包问题解决;当规模较大时,使用贪心算法,题解中给出的理由是:当商品的最小价格$minp$达到阈值时,将预算统统购买最便宜或最贵的商品,两者可购买的数量是相等的.
  对于一维数组dp的规模极限,由于商品价格极差不大于3,所以可能有$\lfloor \frac{W}{minp}\rfloor =\lfloor \frac{W}{minp+3}\rfloor \le 100$.当上述情况成立时,题解认为可以使用贪心.将商品清单按重要度排序,自大而小取走即可,并且题解推导出当$minp>300$时,上述情况成立.

勘误

勘误推理参考:君义_noip的证明

实际上$minp>300$只是$\lfloor \frac{W}{minp}\rfloor =\lfloor \frac{W}{minp+3}\rfloor \le 100$的必要不充分条件
当$W$被$minp$整除时,$\lfloor \frac{W}{minp}\rfloor =\lfloor \frac{W}{minp+3}\rfloor \le 100$就已经不成立了,此时使用贪心得到的结果可能是错误的.
例如以下数据

800 3
 
400 3
400 4
401 5

此时贪心给出的答案为5, 而正确答案为7