求逆序对
逆序对的定义:
在一个数列aa中,满足a[i]>a[j]a[i]>a[j]并且i<ji<j的数对就叫做逆序对。
解法:
一般有两种解法:归并排序和树状数组。
归并排序动图:
归并求逆序对:
归并排序用到了二分的思想,在排序过程中如果a[i]<=a[j] 就不会产生逆序对,如果a[i]>a[j]就会产生mid−i+1个逆序对,
因为做归排的时候l~mid和mid+1~r都是已经排好序的所以如果a[i]>a[j]那么a[i+1]~a[mid]也就都大于a[j]。
#include<cstdio> #include<algorithm> #define maxn 1000 using namespace std; int n,A[maxn],temp[maxn],ans; void merge(int L1,int R1,int L2,int R2) { int k=0,i=L1,j=L2; while(i<=R1 && j<=R2) { if(A[i]<=A[j]) temp[k++]=A[i++]; else if(A[i]>A[j]) { ans+=(R1-i+1); temp[k++]=A[j++]; } } while(i<=R1) temp[k++]=A[i++]; while(j<=R2) temp[k++]=A[j++]; for(i=0;i<k;i++) A[L1+i]=temp[i]; } void mergeSort(int L,int R) { if(L<R) { int mid = (L+R)/2; mergeSort(L,mid); mergeSort(mid+1,R); merge(L,mid,mid+1,R); } } int main(void) { scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&A[i]); mergeSort(0,n-1); printf("%d",ans); return 0; }
树状数组:
1.能够查询某段区间的和;2.能够随时更新某个数的值。
使用函数int sum(int k)计算a[1]+a[2]+...+a[k]的值。
使用函数update(int k,int change)更新所有包含a[x]的t[i],让t[i]+=change;
使用树状数组求逆序对可能还需要进行离散化操作(因为数据过大的话无法直接开数组),
对于离散后的序列进行一次遍历,遍历过程中就向树状数组C进行插入操作(每次插入的值为1),
这里树状数组表示的是在该元素前面但是比该元素大的元素个数,进行插入操作以后就查询。
#include<cstdio> #define maxn 100010 int n,a[maxn],t[maxn],ans; int sum(int k) { int s = 0; for(int i=k;i>0;i-=i&(-i)) s+=t[i];//所求的区间长度和 = 当前管线的区间和 + 剩下的区间长度和 return s; } void update(int k,int change) { for(int i=k;i<=n;i+=i&(-i)) t[i]+=change;//每一次循环就是找到了下一个包含k的区间对应的t[i] } int main(void) { int num; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&num); a[num]++; update(num,1); ans+=i-sum(num);//sum(num)计算的是小于等于num的总数,当前总数i-sum(num)大于num的元素的个数,就是逆序的个数。 } printf("%d",ans); return 0; }