第二章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的产生过程
2.2 正弦交流电的基本概念
2.2.1 三要素：最大值、角频率、初相
定义：大小和方向均随时间按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电。
电动势、电压、电流表达式：
1．最大值（幅值）Um
它反映正弦量变化范围的参数，即最大值和最小值。
用带下标m的大写字母表示，如Im、Um和Em分别表示电流、电压、和电动势的最大值。
2．角频率ω
它是表示正弦交流量变化快慢的物理量。是正弦量在单位时间内所经历的电角度α 称为角频率，即ω=α/t=2π/T 。对比 v=s/t
单位为弧度/秒，用rad/s表示。
相位 ωt+φi：它反映了正弦量变化的进程。
α=ωt 是一个角度
3．初相
是正弦电流在t＝０时刻的相位角，即φu、φi。反映正弦量的初始状态，决定了正弦量的初始值。规定|φ|≤π（-π≤φ≤π）。
2.2.2 相位差
已知：
求电压与电流之间的相位差。
解：u、i 的相位差为：
显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等于它们的初相之差。
注意：不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差不得超过±180°!
我国和世界上大多数国家电力工业的标准频率为50赫兹（有一些国家采用60赫兹），工程上称它们为工频。它的周期为0.02秒，电流的方向每秒变化100次，它的角频率为314弧度/秒（ω=2πf=100π）。
例1：已知正弦量的解析式为i=10sin（314t+240°）A，试求正弦量的最大值、频率、周期、角频率和初相。
例2：已知一正弦量电压的表达式为u=311sin（ωt+π/4）V，频率为工频。试求t=2s时的瞬时值。
例3：我国电力标准频率为（ ）赫兹，称为（ ），它的周期为（ ）秒，角频率为（ ）rad/s，民用市电为（ ）伏。
2.2.3 有效值
有效值是指与正弦量热效应相同的直流电数值。
交流电流 i 通过电阻R时，在t时间内产生的热量为Q；
直流电流I 通过相同电阻R时，在t 时间内产生的热量也为Q。
两电流热效应相同，可理解为二者做功能力相等。
我们把做功能力相等的直流电的数值I定义为相应交流电i 的有效值。
有效值可确切地反映正弦交流电的大小。
有效值是根据热效应相同的直流电数值而得，因此引用直流电的符号，即有效值用U或I表示。
正弦交流电的有效值和最大值之间具有特定的数量关系，即：
提示：sin2α=(1-cos2α)/2 cos2α=cos2α-sin2α sin2α+cos2α=1
人们常说的交流电压220伏、380伏指的就是有效值。电气设备铭牌上所标的电压、电流值以及一般交流电表所测的数值也都是有效值。总之，凡涉及交流电的数值，只要没有特别说明，均指有效值。
例3：有一电容，其耐压值为260V，问能否接在民用电压220V的交流电上？
2.3 正弦交流电的相量表示法
2.3.1 复习复数
正弦量的相量表示法是指：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。矢量，简单来说就是既有大小又有方向的量。
相量特指与正弦量具有一一对应关系的复数。如：
正弦量的最大值对应复数A的模值；
正弦量的初相与复数A的幅角相对应；
正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω；
显然，复数A就是正弦电压u的相量。二者具有一一对应关系。
正弦量的相量是用复数表示的。
因此学习相量法之前应首先复习巩固一下有关复数的概念及其运算法则。
复数F在复平面上是一个点；
原点指向复数的箭头称为复数F的模值|F|，用r表示，即|F|=r；
模r与正向实轴之间的夹角称为复数F的幅角，用θ表示；
F在实轴上的投影是它的实部数值a；
F在虚轴上的投影是它的虚部数值b；
复数F用代数形式可表示为：F=a+jb;
由图可得出复数F的模的和幅角θ与实部、虚部的关系为：
复数的几种形式：
复数F的表示形式有F =a+jb =|F |（cosθ+jsinθ）=|F |ejθ=|F |∠θ。这是在数学理论里的复数，而在电路理论中的复数表示的是正弦量的相量。
F =a+jb =|F |（cosθ+jsinθ）=|F |∠θ
例：已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出复数A的极坐标形式和代数形式和三角形式的表达式。
解：
极坐标式：A=5∠53.1°
代数形式：A=3+j4
三角形式：A=5(cos53.1°+jsin53.1°)
练习：已知复数F的模|F |=10，幅角ψ=30°，试分别写出复数F的极坐标形式、三角形式和代数形式的表达式。
复数的运算法则
设有两个复数分别为：
F1 =a1+jb1 =|F1 |∠θ1
F2 =a2+jb2 =|F2 |∠θ2
则：F1+F2=（a1+a2）+j（b1+b2） 加就加
F1-F2=（a1-a2）+j（b1-b2） 减就减
F1*F2=|F1 |*|F2 |∠(θ1+θ2) 乘对加（记成家立业）
F1/F2=|F1 |/|F2 |∠(θ1-θ2) 除对减
显然，复数相加、减时用 代数形式 比较方便；
复数相乘、除时用 极坐标形式 比较方便。
2.3.2 相量的概念
特别说明，向量和相量是不同的，相量是电子工程学中用以表示正弦量大小和相位的矢量；而向量是在数学中表示具有大小和方向的量，与之对应的没有方向的数量叫标量。
相量法是分析正弦交流电路的一种简单易行的方法。它是结合数学理论与电路理论而建立起来的一种系统方法。
如下图所示，正弦量u、i等的相量书写方式是在对应电量的大写字母U（或Um）、I（或Im）上加“·”（点）符号表示，若正弦量的幅度用最大值表示，则对应电量的大写字母应加下角标“m”。
注意！在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：
j 称为旋转因子，一个复数 乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；（沉溺）
除以j相当于在复平面上顺时针旋转90°。
例如：实数2乘以j等于2j，一个在正实轴，一个在正虚轴，相差90°。
例1：已知正弦电压、电流为u=220√2sin（ωt+π/4）V，i=5√2sin（ωt-π/3）A。试写出u和i对应的相量，并画出相量图。
例2：写出正弦量。
例3：已知i1和i2如下，求i=i1+i2。
i1=12.7√2sin（314t+30°） i2=11√2sin（314t-60°）
解：（复数相加用代数式比较方便）
cos30°=sin60°=√3/2=0.866 cos60°=sin30°=0.5
12.7*0.866+11*0.5=16.5 12.7*0.5-11*0.866=6.35-9.53=3.18
关于正弦量与相量，以下几点需要大家注意：
（1）相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。这是因为正弦量是一个变量，它是瞬时变化的，而相量只是一个有方向和大小的量，它代表的是正弦量在某一时刻的值。
（2）只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。这是因为相量本身就是为分析正弦交流电路而存在的。
（3）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
（4）正弦量的相量只包含正弦量的两个要素：有效值（或振幅）和初相。
从sin(x)和cos(x）的图像可知，它们相差π/2。所以
sin(x)左移π/2变成cos(x），即cos(x）=sin(x+π/2)；
cos(x)右移π/2变成sin(x），即sin(x）=cos(x-π/2)；
移动方向口决：左加右减（作家又减少了）。
往左移动是加，往右移动是减。
所以：
cos(ωt）= sin(ωt+π/2)；---ωt=α,相当于上面的x
sin(ωt）= cos(ωt-π/2)；---ωt=α,相当于上面的x
2.4 单一参数的正弦电路
2.4.1 交流电路中的电阻
2.4.2 交流电路中的电容
2.4.3 交流电路中的电感
2.5 对称三相交流电
