电工基础：正弦量的相量表示

按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。我们在学习正弦量的时候，基本都是采用瞬时表达式和波形图的方式进行分析。

想象一下，如果两个正弦量相加减，我们是通过它们的波形图进行相加减，把两个正弦量的波形沿时间轴分为无数个点，一点一点的相加减，这个过程可想而知是多么的繁琐，另外，如果是把它们的瞬时表达式相加减，这就要通过三角函数的转换，也不算方便，而相量，就为正弦量的运算带来了极大的便利。

相量法是分析正弦交流电路的一种简单易行的方法。它是结合数学理论与电路理论而建立起来的一种系统方法。

正弦量的相量表示法是指：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。矢量，简单来说就是既有大小又有方向的量。

如上图所示，设正弦量u=Umsin(ωt+Ψ),其波形图如图右所示，以该正弦量的幅值Um作为旋转矢量的长度（即虚圆的半径），初相角Ψ作为旋转矢量与横轴的夹角并以此作为起点，使旋转矢量以角速度ω按逆时针方向在直角坐标轴上旋转，对于某一时刻ωt1，该旋转有向线段在纵轴上的投影（虚线与y轴的交点）显然就是对应时刻正弦量的瞬时值，这就是正弦量的相量表示。

另外，回顾上次我们所学的周期与角速度的关系ωT=2π，以上图为例，想象一下，当旋转矢量旋转一周期（2π）后，我们可以很快发现，它又回到了初始的位置，对应波形图，此时的正弦量的值恰好也是等于其初始时的值，不同的只不过是时间罢了。

如下图所示，正弦量u、i等的相量书写方式是在对应电量的大写字母U（或Um）、I（或Im）上加“·”（点）符号表示，若正弦量的幅度用最大值表示，则对应电量的大写字母应加下角标“m”。

在实际应用中，正弦量的幅度一般都是采用有效值表示，即没有下角标“m”。相量中的“·”（点）号即是表示与正弦量相关的复数身份，以区别于一般的复数，同时也表示区别于正弦量的幅值或有效值。相量符号本身就包含幅度和相位信息。

正弦量的相量表示，实质上就是用复数表示正弦量，即正弦量的对应相量是一个复数。所以，复数及其运算是应用相量法的数学基础，我们要懂得相量，就必须要懂得复数。所谓复数，实质上是由实数和虚数组成的一对数，实数包括有理数和无理数。

一个复数有多种表示形式。复数F的代数形式为F =a+jb，其中j为虚数单位。虚数理解起来可能比较困难，但这并不影响我们学习复数，在此我也不对虚数展开讲解。

另外，j还可以表示为旋转90°因子±j，即±j=cos90°±sin90°。j作为旋转90°因子在与有功和无功、电阻和电抗、容抗和感抗相关正弦交流电路的相量分析中带来很大的便利。某相量乘以j，就是将该相量逆时针旋转90°，某相量乘以-j，就是将该相量顺时针旋转90°。

复数F的代数形式F =a+jb中，a称为复数F的实部，b称为复数F的虚部。复数在复平面上是一个坐标点，常用原点至该点的向量表示，如上图所示,其中r为复数的模（值），表示为|F |，θ为复数的辐角，即θ=argF ，θ可以用弧度或度表示。

特别说明，向量和相量是不同的，相量是电子工程学中用以表示正弦量大小和相位的矢量；而向量是在数学中表示具有大小和方向的量，与之对应的没有方向的数量叫标量。

上文提到，一个复数是有多种表示形式的，除了其代数形式，还有三角形式、指数形式和极坐标形式。

如下图所示，根据复数F在复平面上的表示，可以得到复数F的三角形式。结合复数F的代数形式，|F |和θ与a和b之间的关系图中所示。在一些书面上，复数F的实部还会表示为Re[F]，即a =Re[F]；虚部表示为Im[F]，即b =Im[F]。

另外，复数F的指数形式和极坐标形式如下图所示。其中ejθ=cosθsinθ是欧拉公式的表达式，这是属于复变函数的知识，较为复杂，在此就不展开讲解啦。我们只需知道结论即可。极坐标和直角坐标都是二位坐标系统，相对于直角坐标系，极坐标系只有一条坐标轴叫极轴，其原点叫极点，如下图所示。

综上，复数F的表示形式有F =a+jb =|F |（cosθ+jsinθ）=|F |ejθ=|F |∠θ。这是在数学理论里的复数，而在电路理论中的复数表示的是正弦量的相量。

把数学领域的复数运用到电路领域，其实也很简单，只不过是将复数F符号用正弦量中各电气量对应的相量符号代替，如下图30-6所示。

关于正弦量与相量，以下几点需要大家注意：

（1）相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。这是因为正弦量是一个变量，它是瞬时变化的，而相量只是一个有方向和大小的量，它代表的是正弦量在某一时刻的值。

（2）只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。这是因为相量本身就是为分析正弦交流电路而存在的。

（3）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

（4）正弦量的相量只包含正弦量的两个要素：有效值（或振幅）和初相。

在上一次的学习中提到过，同频的正弦量之间的代数和，其结果仍为同频率的正弦量。也就是因为角频率的不变，所以在讨论研究同频率的正弦量时，可以不用考虑其角频率，只需研究其幅值和初相角的变化。

同理，在相量图上，因为各正弦量的频率相同，我们只需比较它们对应相量的模与辐角即可。

相量图其实就是把相量表示在复平面的图形，类似于图30-3中的复数F。如下图为两个正弦量的相量图表示。从相量图中，我们可以很快的看出，正弦量u1与u2的关系。

复平面的直角坐标系有四个象限，显然相量在复平面上表示时可以在任一象限中，如下图所示，当相量的实部和虚部取值不同时，其相量图会出现在不同的象限中。

当a、b均大于零时，相量在第一象限；当a小于零，b大于零时，相量在第二象限；

当a、b均小于零时，相量在第三象限；当a大于零，b小于零时，相量在第四象限。

另外，辐角Ψ取值范围为180°≥Ψ≥0°时，相量在第一、二象限；辐角Ψ取值范围为0°≥Ψ≥-180°时，相量在第三、四象限。

大家可以尝试画一下几种不同情况的相量图，以加深印象，这也方便大家在之后以相量图分析电路时能熟练运用。

正弦量的运算可以采用相量的加减乘除来实现，其本质就是复数的加减乘除。所以，关于相量的复数运算规则，其实就是复数的运算规则。

如下图30-9所示为相量的加减表示。相量的加减遵循平行四边形法则，即两个相量的相加，把其中一个相量沿另一个相量平移，使两相量首尾相连，得到的平行四边形的新相量（对角线）即为两者之和；

两个相量的相减如图30-9中的（2）所示，以被减数作为平行四边形的对角线，减数作为平行四边形的一条边，两者首尾相连得到平行四边形的另一条边即为两者之差。

相量的乘除如下图30-9所示，两个相量相乘，即把两者的有效值相乘得到积的有效值，把两者的初相角相加得到积的初相角；

两个相量相除，即把两者的有效值相除得到商的有效值，把两者的初相角相减得到商的初相角。相量的积和商的相量图大家可以自行尝试画一下，在这里我就不再作展示。

正弦量的相量表示和运算总的来说并不是难，大家只要把一些定义与规则熟记，并多做练习就已经差不多了。

这次的学习内容其实更多的是偏向于数学的知识，还有的就是画相量图，懂得画相量图这一项技能是非常有用的，特别是在三相电路里面，基本离不开相量图的辅助分析。