【XSY3527】饮料

【XSY3527】饮料

Solution

首先钦定最后的答案 \(A\)。于是你给每个饮料体积都乘上 \(A\)，每瓶的体积就会是 \(S = \sum a_i\)。

引理1

Lemma:\(a\) 种饮料一定能放进 \(a-1\) 瓶里。

Proof: 我们采用归纳法，显然 \(a=2\) 时满足条件。

假如 \(a=k\) 时满足，则考虑 \(a=k+1\)。考虑提出这 \(k+1\) 种饮料的最大值和最小值，假如它们加起来不到 \(S\)，那么剩下的 \(k-1\) 种的值的和就至少为 \((k-1)S\)，最大值至少为 \(S\) ，矛盾。于是最大值和最小值加起来必然超过 \(S\)，这就很好构造了。

引理2

Lemma: 假如存在一种方案把 \(a\) 种饮料放入 \(b\) 个瓶子，则一定有一种方案把这些瓶子划分为 \(a-b\) 组，使得每一组内若有 \(x\) 种饮料，则有 \(x-1\) 个瓶子。

Proof: 考虑构造一个图 \(G(V,E)\)，其中 \(V\) 为 \(b\) 个瓶子，\(E\) 为每种饮料“分裂”产生的边。每种饮料每分裂一次，就产生一条新的边。（也就是说，一种饮料被分为 \(k\) 份，就会产生 \(k-1\) 条顺次连接每一份的边。）特别地，一种饮料占满了一个瓶子，我们对这个瓶子连个自环。

这个图显然一共会有 \(2b-a\) 条边，总共的 \(|E|-|V|=b-a<0\)。考虑每个连通块，每个连通块的 \(|E|-|V| \geq -1\)。而当一个连通块的\(|E|-|V| = -1\) 时，我们发现这个连通块内有 \(|V|\) 个瓶子，而恰有 \(|V|+1\) 种饮料。对于\(|E|-|V| \ge 0\)的，我们必然能找到足够的 \(-1\) 的连通块，和这个连通块分到一组，于是这样也能构成满足条件的组（感性理解，如果 \(-1\) 不够，总和也就不可能 \(<0\)）。

这样我们就证完了。

最后从小到大枚举可能的答案（显然最大到 \(n-1\)），先把每个数乘上 \(A\) 并减去 \(S\)，这样每个组的和就都是 \(-S\) 了，然后用状压 DP，求出每个子集最多能构成的组数，暴力转移即可。

tips: 显然如果组数更多，也能凑出合法方案。