【JSOI2018】 潜入行动

潜入行动

题意

外星人又双叒叕要攻打地球了，外星母舰已经向地球航行！这一次，JYY 已经联系好了黄金舰队，打算联合所有 JSOIer 抵御外星人的进攻。

在黄金舰队就位之前，JYY 打算事先了解外星人的进攻计划。现在，携带了监听设备的特工已经秘密潜入了外星人的母舰，准备对外星人的通信实施监听。

外星人的母舰可以看成是一棵 n 个节点、 n-1 条边的无向树，树上的节点用 、1,2,⋯,n 编号。JYY 的特工已经装备了隐形模块，可以在外星人母舰中不受限制地活动，可以神不知鬼不觉地在节点上安装监听设备。

如果在节点 u 上安装监听设备，则 JYY 能够监听与 uu 直接相邻所有的节点的通信。换言之，如果在节点 u 安装监听设备，则对于树中每一条边 (u,v) ，节点 v 都会被监听。特别注意放置在节点 u 的监听设备并不监听 u 本身的通信，这是 JYY 特别为了防止外星人察觉部署的战术。

JYY 的特工一共携带了 k 个监听设备，现在 JYY 想知道，有多少种不同的放置监听设备的方法，能够使得母舰上所有节点的通信都被监听？为了避免浪费，每个节点至多只能安装一个监听设备，且监听设备必须被用完。

Solution

首先树形DP，然后状态是\(dp[u][s][0/1][0/1]\)，表示dp到了节点u、放了s个监听设备、自己放或不放、自己有没有被儿子节点监听的方案总数

然后DP方程很容易搞出来，但是很冗长复杂。。。

我们设在更新当前子树前的\(dp[u]=g\)，那么有

很容易明白的，相信我，别看题解，自己推一遍，对自己好

\[\begin{cases} dp[u][j+l][0][0]+=g[j][0][0]*dp[v][l][0][1] \\ dp[u][j+l][0][1]+=g[j][0][0]*dp[v][l][1][1]+g[j][0][1]*(dp[v][l][0][1]+dp[v][l][1][1]) \\ dp[u][j+l][1][0]+=g[j][1][0]*(dp[v][l][0][0]+dp[v][l][0][1]) \\ dp[u][j+l][1][1]+=g[j][1][0]*(dp[v][l][1][0]+dp[v][l][1][1])+g[j][1][1]*(dp[v][l][0][0]+dp[v][l][0][1]+dp[v][l][1][0]+dp[v][l][1][1]) \\ \end{cases} \]

简单明了

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct qwq{
	int v;
	int nxt;
}edge[200010];
int head[200010];
int cnt=-1;
void add(int u,int v){
	edge[++cnt].nxt=head[u];
	edge[cnt].v=v;
	head[u]=cnt;
}
const int mod=1e9+7;
int dp[100010][110][2][2];
int g[110][2][2];
int siz[100010];
int k;
void dfs(int u,int fa) {
	siz[u]=dp[u][0][0][0]=dp[u][1][1][0]=1;
	for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
		int v=edge[i].v;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=0;j<=min(siz[u],k);j++){
			g[j][0][0]=dp[u][j][0][0];
			g[j][0][1]=dp[u][j][0][1];
			g[j][1][0]=dp[u][j][1][0];
			g[j][1][1]=dp[u][j][1][1];
		}
		memset(dp[u],0,sizeof(dp[u]));
		for(int j=0;j<=min(siz[u],k);j++){
			for(int l=0;l<=min(siz[v],k-j);l++){
				dp[u][j+l][0][0]=(dp[u][j+l][0][0]+0ll
				+1ll*g[j][0][0]*dp[v][l][0][1])%mod;
				dp[u][j+l][0][1]=(dp[u][j+l][0][1]+0ll
				+1ll*g[j][0][0]*dp[v][l][1][1]
				+1ll*g[j][0][1]*(dp[v][l][0][1]+0ll+dp[v][l][1][1]))%mod;
				dp[u][j+l][1][0]=(dp[u][j+l][1][0]+0ll
				+1ll*g[j][1][0]*(dp[v][l][0][0]+0ll+dp[v][l][0][1]))%mod;
				dp[u][j+l][1][1]=(dp[u][j+l][1][1]+0ll
				+1ll*g[j][1][0]*(dp[v][l][1][0]+0ll+dp[v][l][1][1])
				+1ll*g[j][1][1]*(0ll+dp[v][l][0][0]+dp[v][l][0][1]+dp[v][l][1][0]+dp[v][l][1][1]))%mod;
			}
		}
		siz[u]+=siz[v];
	}
}
signed main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	int n;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v),add(v,u);
	}
	dfs(1,-1);
	printf("%d\n",(dp[1][k][0][1]+dp[1][k][1][1])%mod);
}