【BZOJ3771】 Triple

Triple

题目大意

给你一堆有价值的物品，可以选择其中的一个、两个或者三个，不能重复选，求可以选出来的总价值以及方案数。最大价值在FFT范围内。

Solution

FFT+容斥

一个多项式的系数是方案数，指数就是价值，这里一个多项式\(A[x]\)代表多项式A的x次方项

那么我们把两个多项式乘起来，就可以得到一边选一个元素，另一边也选一个元素加起来的方案数

原理：多项式乘法，两项相乘，指数相加，系数相乘，相当于价值相加，方案数相乘

所以我们建立三个多项式，分别存某种物品选一个、两个、三个的价值数目

设为a,b,c，则当一个物品价值为x时，\(a[x]++\),\(b[x+x]++\),\(c[x+x+x]++\)

那么对于每种价值i，分三类情况：

1、只选一个，此时答案显然就是\(a[i]\)

2、选两个，此时不去重答案是\(a[i]^2\)，但是其中会有两个一样的情况，然后去掉顺序，所以最终答案是\((a[i]^2-b[i]) \over 2\)

3、选三个，此时不去重答案是\(a[i]^3\)，去掉(x,x,x)与(x,y,y)、(y,x,y)、(y,y,x)的情况，就要减掉\(a[i] \times b[i] \times 3\)，但是这样多减去了两个(x,x,x)，所以要加回来\(c[i] \times 2\)

最终答案是\((a[i]^3-(a[i] \times b[i] \times 3)+(c[i] \times 2)) \over 6\)

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct comp{
    double x,y;
    comp (double xx=0,double yy=0){
        x=xx,y=yy;
    }
}a[200010],b[200010],c[200010],ans[200010];
comp operator +(comp a,comp b){return comp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
comp operator -(comp a,comp b){return comp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
comp operator *(comp a,comp b){return comp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
comp operator *(comp a,double b){return comp(a.x*b,a.y*b);}
int rev[200010];
int lim=1;
const double pi=acos(-1);
void fft(comp *A,int type){
    for(int i=0;i<lim;++i){
        if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
    }
    for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
        comp wn=comp(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
        for(int j=0,R=mid<<1;j<lim;j+=R){
            comp w=comp(1,0);
            for(int k=0;k<mid;++k,w=w*wn){
                comp x=A[j+k],y=w*A[j+k+mid];
                A[j+k]=x+y;
                A[j+k+mid]=x-y;
            }
        }
    }
    if(type==-1){
    	for(int i=0;i<lim;++i)A[i].x/=lim;
	}
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int len=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[x].x+=1.0,b[x*2].x+=1.0,c[x*3].x+=1.0;
        len=max(len,x*3);
    }
	int tmp=0;
    while(lim<=len){
        lim<<=1,tmp++;
    }
    //cout<<lim<<" "<<tmp<<endl;
    for(int i=0;i<=lim;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(tmp-1);
    }
    fft(a,1);
    fft(b,1);
    fft(c,1);
    for(int i=0;i<lim;++i){
        ans[i]=a[i];
		ans[i]=ans[i]+(a[i]*a[i]-b[i])*0.5;
		ans[i]=ans[i]+(a[i]*a[i]*a[i]-b[i]*a[i]*3.0+c[i]*2.0)*(1.0/6.0);
    }
    fft(ans,-1);
    for(int i=0;i<lim;++i){
        int num=ans[i].x+0.5;
        if(num){
            printf("%d %d\n",i,num);
        }
    }
}