Python数模笔记-Scipy库（1）线性规划问题

1、最优化问题建模

最优化问题的三要素是决策变量、目标函数和约束条件。

（1）分析影响结果的因素是什么，确定决策变量
（2）决策变量与优化目标的关系是什么，确定目标函数
（3）决策变量所受的限制条件是什么，确定约束条件

最优化问题的建模，通常按照以下步骤进行：

（1）问题定义，确定决策变量、目标函数和约束条件；
（2）模型构建，由问题描述建立数学方程，并转化为标准形式的数学模型；
（3）模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果；
（4）模型检验，统计检验和灵敏度分析。

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2、线性规划

线性规划（Linear programming），是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的优化方法，常用于解决利用现有的资源得到最优决策的问题。

线性规划模型的一般形式如下：

min　　fx = c1*x1 + ...+ cn*xn
　　s.t. a11*x1+...+a1n*Xn ≤ b1
　　　　...
　　　　am1*x1+...+amn*Xn ≤ bm
　　　　x1≥0,...,xn≥0

其中：fx 是目标函数，求最小值；x1,...xn 是决策变量；aij, bi 是不等式约束的参数。

3、Scipy 求解线性规划

Python 的 SciPy 库带有用于解决线性编程问题的 linprog 函数。
　　linporg 函数对于线性规划模型的描述为：

min fx = C'*X fx 是目标函数
　　s.t. A_ub*X <= B_ub 不等式约束
　　　　A_eq*X = B_eq 等式约束
　　　　lb <= X <= ub 取值范围

其中：

fx 是目标函数，求最小值；
X 是决策变量，向量；
C 是目标函数的参数向量；
A_ub 是不等式约束的参数矩阵，B_ub 是不等式约束的参数向量；
A_eq 是等式约束的参数矩阵，B_eq 是等式约束的参数向量；
lb,ub 是参数向量，(lb,ub) 是 X 的取值范围。

注意：
　　（1）问题表示为：求 fx 的最小值，如果问题要求 fx 的最大值则要通过 fx‘= -fx 将问题转化为求 fx' 的最小值；
　　（2）不等式约束条件表示为：小于等于，如果约束条件为大于等于则要通过不等式两侧乘以 -1 将约束条件转化为小于等于的形式。
linporg 函数求解线性规划问题的输出参数为：

con: 等式约束的残差（名义上为 0），B_eq - A_eqX
fun: 目标函数的当前值（最小值），C'X
message: 算法状态描述
nit: 当前迭代次数
slack: 不等式约束的松弛值，B_ub - A_ubX
status: 算法退出时的状态，0：优化完成，1：达到最大迭代次数，2：不可行，3：不收敛，4：数值困难
success: 当算法成功完成时为 True
x: 当前解，向量

4 实例

4.1 问题模型：

    max     fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3
    s.t.    x1 + x2 + x3 = 7
            2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10
            x1 + 3*x2 + x3 <= 12
            x1, x2, x3 >=0

4.2 模型转换：

首先要将求解问题的模型转化为 Linprog 的标准形式：

（1）求最大值问题要转换为求最小值问题：C = [-2, 3, 5]
（2）当约束条件为大于等于时要加负号：A_ub = [[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]
（3）由 x1,x2,x3>=0 和 x1+x2+x3=7 可知：0 <= x1,x2,x3 <= 7

4.3 python 程序：

import numpy as np  # 导入 numpy
from scipy.optimize import linprog  # 导入 scipy

c = np.array([-2, -3, 5])
A_ub = np.array([[-2, 5, -1], [1, 3, 1]])  # 不等式约束参数矩阵
B_ub = np.array([-10, 12])  # 不等式约束参数向量
A_eq = np.array([[1, 1, 1]])  # 等式约束参数矩阵
B_eq = np.array([7])  # 等式约束参数向量
x1 = (0, 7)  # x1 的取值范围，lb1 < x1 < ub1
x2 = (0, 7)  # x2 的取值范围，lb2 < x2 < ub2
x3 = (0, 7)  # x3 的取值范围，lb3 < x3 < ub3
res = linprog(c, A_ub, B_ub, A_eq, B_eq, bounds=(x1, x2, x3))
print(res)
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4.4 运行结果：

     con: array([1.19830306e-08])
     fun: -14.57142854231215
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     nit: 5
   slack: array([-3.70231543e-08,  3.85714287e+00])
  status: 0
 success: True
       x: array([6.42857141e+00, 5.71428573e-01, 9.82192085e-10])