题解 P2471 【[SCOI2007]降雨量】

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前置芝士

离散化

ST表和RMQ问题

二分

正文

首先我们来分析一下题意。

题目会给出两个大小为 $n$ 的数组， $y$ 和 $r$ ，其中 $y_i$ 表示第 $i$ 个年份是第几年， $r_i$ 表示的是第 $y_i$ 年的降雨量。之后，将会有 $m$ 次询问，每次询问给出两个年份 $Y$ 和 $X$ ，若用 Z 表示 $Y$ 和 $X$ 之间的年份，则我们要判断的是三个年份的降雨量是否满足 $Y\geqslant X>Z$ ，根据判断结果输出不同的话。

很显然，这是一个 $RMQ$ 问题， $RMQ$ 问题有多种方式解决，下面将只给出 $ST$ 表的解法。(~~其实我不会线段树，单调栈也忘记怎么写了~~)

这道题看似是一道水题，其实它有非常多的坑点，因为题目中的 $Y,X,Z$ 之间会有很多种大小关系，而对于每一种关系，我们都要判断输出的结果是 $true$ ， $false$ ，还是 $maybe$ ，这就使得这道题会让人变得非常头疼。

对于 $Y,X,Z$ 三者之间大小关系的分析，将直接在代码中给出。

然而，我们并不是只需判断 $Y,X,Z$ 之间的关系，在某些情况下，我们还需判断 $Y,X$ 之间所有年份的降水量是否已知。为了防止超时爆零，我们不能直接用 $for$ 循环枚举判断，但是我们可以利用二分法查找中间年份，这样就不会超时。

因为这题的数据范围特别大， $y_i$ 在 $\pm 10^9$ 之间，我们不可能定义一个大小有 $2*10^9$ 的数组来存储每一年的降水量，所以我们需要对所给的年份进行离散化处理。但是，题目中所给出的年份本来就是从小到大排列的，这就帮我们省去了离散化的步骤（即给出的已经处于离散化状态），我们只要直接按照所给顺序做就行。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50005;
int a[N],b[N],d[N][20],lg[N]= {-1};
int n,m;
int query(int x) {
	return lower_bound(a+1,a+1+n,x)-a;
}
void RMQ_init(int n) {
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		d[i][0]=b[i];
		lg[i]=lg[i/2]+1;
	}
	for (int j=1; 1<<j<=n; j++) {
		for (int i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++) {
			d[i][j]=max(d[i][j-1],d[i+(1<<j-1)][j-1]);
		}
	}
}
int RMQ(int l,int r) {
	if (l>r) return -1;
	int k=lg[r-l+1];
	return max(d[l][k],d[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld %lld",&a[i],&b[i]);
	RMQ_init(n);
	scanf("%d",&m);
	for (int _=1; _<=m; _++) {
		ll o,p;
		scanf("%lld %lld",&o,&p);
		int x=query(p),y=query(o);
		int rmq=RMQ(y+1,x-1);
		if (y>x) {
			puts("false");
		} else {
			if (x<=n && a[x]==p) {
				//x年份存在
				if (y<=n && a[y]==o) {
					//y年份存在
					bool now=1;
					if (rmq==-1) {
						//x,y中间无已知年份时
						if (b[x]<=b[y]) { //x的降雨量小于等于y
							if (p-o==x-y) puts("true"); //x，y为连续的两年
							else puts("maybe");//x，y中间有其他年份
						} else {
							puts("false");//x的降雨量大于y
						}
						now=0;
					}
					if (!now) goto M;
					if (b[y]<b[x] || b[x]<=rmq) {
						//y年降雨量比x年小或者x~y之间有一年的降雨量大于x年
						puts("false");
					} else {
						//b[y]>b[x]>rmq
						if (x-y!=p-o) {
							//第i年的降雨量未知
							puts("maybe");
						} else puts("true"); //中间年份全部存在
					}
				} else {
					//y年不存在
					if (RMQ(y,x-1)>=b[x]) {
						//ps:此时，第一个降雨量大于等于p的年份，
						//	 也就是中间年份的第一项就是y。 
						
						//中间年份存在降雨量大于等于x年的一年
						puts("false");
					} else {
						//y年不存在，无论中间年份降雨量如何，结果都是未知的
						puts("maybe");
					}
				}
			} else {
				//x年不存在
				if (y<=n && a[y]==o) {
					//y年存在
					if (rmq>=b[y]) puts("false"); //rmq>=a[y]时
					else puts("maybe");//a[y]>rmq时，x年未知
				} else puts("maybe");//x，y都未知时。
			}
		}
		M:;
	}
	return 0;
}