tzoj4954 矩阵游戏

题目大意: 已知

 

                                                                                                                              

a,b,c,d,n,m已知, 求f(n,m).

数据范围

1<=N,M<=10^1000 000,a<=a,b,c,d<=10^9

 题目链接

首先用到费马小定理将n和m缩小到int范围。

费马小定理

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

其中p为质数，a为不是p的倍数的正整数。

首先用到高中的数列。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                  F(n,m)=a·F(n,m-1)+b=(a^(m-1))F(n,1)+b+ab+...+(a^(m-2))b

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(a^(m-1))c·F(n-1,m)+(a^(m-1))d+b+ab+...+(a^(m-2))b     

令p=b+ab+...+(a^(m-2))b, s=(a^(m-1))c, t=(a^(m-1))d+p, q=t+st+...+(s^(n-2))

F(n,m)=s·F(n-1,m)+t=(s^(n-1))F(1,m)+q=(s^(n-1))(a^(m-1)+p)+q

其中p和q都是等比数列，可以使用等比数列求和公式计算。注意a或s为1时不能用等比数列求和公式计算，此时p和q变成了等差数列，直接使用快速幂得出结果。

除法求模使用逆元来解决。

下面贴代码

 当a和s为1时需要使用首项*项数计算，因此使用tn和tm来存储n和m mod 1e9+7 的值

#include <bits/stdc++.h>
#define IO ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
int fastpow(int base, int n)//快速幂
{
    int ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans = (1ll * ans * base) % mod;
        base = (1ll* base * base) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    IO;
    string nn, mm;
    int a, b, c, d;
    int n = 0, m = 0, tn = 0, tm = 0;
    cin >> nn >> mm;
    cin >> a >> b >> c >> d;
    for (int i = 0; i < nn.length();i++)
    {
        n = (10ll * n + nn[i] - '0') % (mod - 1);//利用费马小定理缩小n
        tn = (10ll * tn + nn[i] - '0') % mod;
    }
    for (int i = 0; i < mm.length();i++)
    {
        m = (10ll * m + mm[i] - '0') % (mod - 1);//和缩小n同理，缩小m
        tm = (10ll * tm + mm[i] - '0') % mod;
    }
    n = (n - 1 + mod - 1) % (mod - 1);
    tn = (tn - 1 % mod) % mod;
    m = (m - 1 + mod - 1) % (mod - 1);
    tm = (tm - 1 + mod) % mod;
    int p, q, s, t, x, y;
    x = fastpow(a, m);
    s = 1ll * x * c % mod;
    y = fastpow(s, n);
    if(a-1)
        p = 1ll * b * (x - 1 + mod) % mod * fastpow(a - 1, mod - 2) % mod;
    else
        p = 1ll * tm * b % mod;
    t = (1ll * x * d + p) % mod;
    if(s-1)
        q = 1ll * t * (y - 1 % mod) % mod * fastpow(s - 1, mod - 2) % mod;
    else
        q = 1ll * tn * t % mod;
    cout << (1ll * y * (x + p) % mod + q) % mod << endl;
    return 0;
}