[OI笔记]三种逆元的求法

其实这篇博客只是搬运一下我之前（大概是NOIP那会）写在word里的笔记…

下面直接复制原话，题目是洛谷上求逆元的模板题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3811

 

 

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我一开始只知道这题的两种方法… 首先我们知道逆元可以用 exgcd 求，但是复杂度是$O(nlogn)$…在这会被卡掉 

注意到$p$是质数那么根据费马小定理： $a^{p−1} \equiv 1\pmod p,a \bot p $在这里进一步得到： 

$a ∗ a^{p−2} \equiv 1\pmod p $
然后$a$在模质数$p$的意义下的逆元就是$a^{p−2}\mod p$ 
但是这样子复杂度但还是没变…过不去…

注意到这里是要求$1$~$n$范围内模$p$的逆元，考虑线性递推？
于是找到一篇不错的博客：http://blog.miskcoo.com/2014/09/linear-find-all-invert
大概意思就是把$p$写成$p=k*i +r,(k = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor,r=p \mod i)$，根据取模运算的定义显然是正确的。
这样，然后两边对$p$取模：
$k ∗ i + r \equiv 0 \pmod p $
同乘$i^{−1},r^{−1}$：
$k ∗ r^{−1} + i^{−1} \equiv 0 \pmod p$
$i^{−1} \equiv −\lfloor \frac{p}{i}\rfloor*(p\mod i)^{-1} \pmod p$
这样一来加上$1^{−1} \equiv 1\pmod p$就可以线性递推这个东西了~
写起来就一句话：

inv[i]=((-p/i*inv[p%i])%p+p)%p 

顺便放上三种求法的代码：

http://paste.ubuntu.com/25864448/