[日常摸鱼]欧拉公式

本来只是查了一下欧拉公式$e^{\pi i}+1=0$相关的东西来着…查出好多东西感觉以前都看过但是都忘得差不多了，还是开篇博客记一下好了…

除了欧拉公式还有一些有关复数的东西以及泰勒展开什么的。

一些东西是自己口胡的如果发现错误还请拿出来怼我…

这篇东西其实和oi没多大关系（也许算是学FFT的一些前置技能？）

 

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1.数系的扩展

（参考文章：https://www.zhihu.com/question/22443712/answer/113884840）

首先还是从最基础的东西开始说起——虚数

最开始在初中将有理数域扩展到实数域的时候，老师就跟我们说根号里面的东西得是非负数，因为根据根号的定义很明显我们找不到一个已知的数字使得他的平方是一个负数，但是我们在引入无理数之前不也找不到一个有理数使得它的平方是2（反正我找不到=w=）不是么？就是这样我们才引入了无理数，既然这样为什么不能对根号下面的东西也进行扩展呢？

我们先来看看是怎么从有理数到实数的，在初中的时候我们在数轴原点上画了一个单位长度的正方形，然后取它的对角线长度再放到数轴上，于是就得到了$\sqrt{2}$，它是介于有理数和有理数之间的一个不是有理数的数，也就像是用来填上两个有理数之前一个空缺的“坑”，这也是第一个发现的无理数，因此还引发了第一次数学危机。等等，我们刚刚说了$\sqrt{2}$不是一个有理数，不仔细想想还真的有点不好判断：

我们知道一个有理数一定能够写成$x=p/q$的形式，这里$p,q$互素，而对于$\sqrt{2}=x$我们如果根据它的定义两边平方应该会得到$2=x^2=\frac{p^2}{q^2}$，于是$p^2=2q^2$，右边是偶数所以$p^2$也是偶数，那么$p$就也是偶数，所以$p^2$一定被4整除，那么$2q^2$也会被4整除，所以$q^2$被2整除，这样将会推出$q$也是偶数，这和我们之前说好的$p,q$互素矛盾了！所以这样就说明了$\sqrt{2}$不是一个有理数，于是我们就赋予了它无理数这个名称。

像$\sqrt{2}$这样的坑当然还有很多，可以证明无理数也是无限的以及实数是连续的（别问我怎么证我不会…），实际上无理数比有理数要多得多，考虑这么每次随机的从$\{0,1,2,...,8,9\}$里选一个数出来构造一个数的小数部分，这样子小数部分出现有限循环的概率为0（不过这里的概率为0并不是不发生，而是几乎不可能发生），这样子看来其实有理数比无理数还“无理”呀…

我们再回到虚数上来，我们对于虚数单位的定义好像也就只是$i=\sqrt{-1}$这么简单而已，看起来好像是为了让开方运算封闭才定义它，这样我们就可以直接对任意的二次方程求根了（实际上任意的多项式方程都可以了），不过实际上虚数是本应该存在的东西，但是它不像有理数到实数那样子明显。

（啊这个东西我也讲不清楚了QAQ你萌如果想知道还是去知乎上看吧…虚数就说到这里了x

下面顺便提一点有关的东西

上面的证明（kou hu）也引发了我们的一个问题，为什么我们不能类似的去定义1/0这个东西？

如果我们定义了一个$I=1/0$，也就是$1=I\ast 0$，那我们根据已有的实数运算律会得到：$0=1-1=I\ast 0-I\ast 0=I\ast (0-0)=1$！接着会得出所有的数都等于0，这样我们已有的代数系统就被破坏掉了。那么为什么不把这个$I$定义成是一个和实数的乘法不满足结合律的东西呢？好吧这个我也不清楚…（如果有人知道请务必告诉我…）（这里更新一下~，后来喵铃(@MoebiusMeow)告诉我这个东西就是在证明$I$不属于实数关于普通加法和普通乘法的环，不满足结合律的话就不属于这个环了）

关于数系的讨论就到这里，下面要请出我们的主角——欧拉公式。

 

2.欧拉公式

这里不加证明的直接给出泰勒公式无穷级数的形式：$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

如果取$a=0$就会得到一个更好用的式子（即麦克劳伦公式）：$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

（话说这个东西后来查了下好像应该叫泰勒级数/麦克劳伦级数来着，不过应该让泰勒公式$N$趋势到$\mathrm{\infty }$的话就能得到泰勒级数吧）

根据这个我们可以直接得出我们要的$e^x$的展开式：$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

如果令$x=xi$的话就会有：$$e^{xi}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n{i}^n}{n!}=1+xi-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}\cdots$$

观察前面的系数，这时候机制的欧拉注意到了$sin$和$cos$的展开式：

$$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\cdots ,$$

$$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\cdots$$

我们把$e^{xi}$的展开式进行整理就会发生神奇的事情：

$$\begin{array}{rl}{e}^{xi}& =1+xi-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots )\\ & =cosx+isinx\end{array}$$

当$x$取$\pi$的时候就是我们的$e^{\pi i}+1=0$了。

关于这个式子我所知道的一个用处好像就是在FFT的时候用来取一个比较方便的单位复数根来进行计算…

不过上面提到的泰勒公式应该还更好用一点…它可以直接用多项式函数来拟合一些奇奇怪怪的函数，而且一般在要求的函数的自变量不是很大的时候展开几十项就基本够用了。

好啦我差不多就会这么多了…哪天也许可以把泰勒公式的证明补上…（等我会证明的那天