[日常摸鱼]bzoj1470[noi2002]Savage

晚上做到的一个扩欧的水题（？）

wa了好几发感觉自己药丸…重新推了一遍公式才发现自己打错了orz

借此复习一下扩欧吧…orz

 

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407

 

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看到这里的人应该都知道扩欧是干嘛的吧…如果不知道也没关系下面有…

欧几里得辗转相除：$gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)$，证明可以看下面。

扩展欧几里得：

考虑方程$ax+by=gcd(a,b)$，如果$b=0$则直接有$x=1,y=0$，否则通过上面的式子可以得到$$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\mod b)=bx+(a\mod b)y=bx+(a-b*\lfloor \frac{b}{a} \rfloor)y$$然后根据$a,b$合并同类项：$$ax+by=ay+b*(x-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y)$$ 看，他出现了递归的形式！所以我们就可以递归的求了（返回的是$gcd(a,b)$）：

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tx,ty;tx=y;ty=x-a/b*y;
    x=tx;y=ty;
    return d;
}

好了刚刚说过下面要证明辗转相除法，假如我们通过辗转相除法求出了$d=gcd(a,b)=ax+by$，我们怀疑有一个更大的公约数$d'$因为某些原因没有被找到，但是这是不存在的~因为如果有这样的一个$d'$，作为$a,b$的$gcd$一定整除$ax+by$，一定整除$d$，所以一定$\leq d$。此外也容易验证求出来的$d$一定整除$a,b$，所以就是真的最大公约数啦~

可以证明复杂度是$O(log n)$的。

不过我们一般不是直接用上面的方程，实际上更多的是讨论$ax+by=c$这个不定方程的解。

把方程两边同除掉$gcd(a,b)$：$$\frac{a}{gcd(a,b)}x+\frac{b}{gcd(a,b)}y=\frac{c}{gcd(a,b)}$$ 这里的其他项都是整数，所以要有解的充要条件就是$gcd(a,b)|c$了。如果它有解的话就先求出$ax+by=gcd(a,b)$的一组解$(x_0,y_0)$，将解代到方程里之后再将两边都乘上$k=\frac{c}{gcd(a,b)}$就得到了$kax_0+kby_0=c$，从而原方程的一组特解就是$x=kx_0,y=ky_0$了。

如果我们要求出其他的解（通解）怎么办？也就是我们想要找一组最小的$\Delta x,\Delta y$使得$a(x+\Delta x)+b(y+\Delta y)=c$，结合$ax+by=c$我们可以得到$a \Delta x+b \Delta y =0$

哎呀这个要怎么弄呀，构造！令$d=gcd(a,b)$，根据$ab-ba=0$我们给他同除掉$d$就可以得到一个有用的等式：$a\frac{b}{d}-b\frac{a}{d}=0$，很显然$\Delta x=\frac{b}{gcd(a,b)},\Delta y=-\frac{a}{gcd(a,b)}$，而且这里的$\Delta x,\Delta y$一定是满足条件的最小值了，因为不能再除了。

 

好了现在回到我们的题目，$n$非常小，又保证了答案的范围，我们可以直接枚举答案$m$然后判断是否对于所有$i \not = j$都满足同余方程$c_i+x*p_i \equiv c_j+x*p_j \pmod m$无解或解比$min(l_i,l_j)$还小，这个方程可以直接转换成$x(p_i-p_j)-my = c_j-c_i$来做

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=17;
int n,m;
int c[N],p[N],l[N];

inline int gcd(int a,int b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tx,ty;tx=y;ty=x-a/b*y;
    x=tx;y=ty;
    return d;
}
inline bool check()
{
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(register int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int ta,tb,tc,t,x,y;
            ta=p[i]-p[j];tb=m;tc=c[j]-c[i];
            t=gcd(ta,tb);
            if(tc%t)continue;
            ta/=t;tb/=t;tc/=t;exgcd(ta,tb,x,y);
            tb=abs(tb);x=((x*tc)%tb+tb)%tb;if(!x)x+=tb;
            if(x<=min(l[i],l[j]))return 0;
        }
    }
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]),m=max(m,c[i]);
    while(1)
    {
        if(check())break;
        m++;
    }
    printf("%d",m);
    return 0;
}