[水题日常]UVA11181 条件概率（Probability|Given）

• 话说好久没写blog了
• 好好学概率论的第一天，这题一开始完全不会写，列出个条件概率的公式就傻了，后来看着lrj老师的书附带的代码学着写的…
• 因为我比较弱智 一些比较简单的东西也顺便写具体点或者是按照书上的说法写了（所以这一篇可能还会更偏向于笔记的样子…）…如果觉得没必要看的话可以直接跳下去

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题意：\(n\)个人准备去买东西，第\(i\)个人买东西的概率是\(P_i\)，买完东西之后你得知一共有\(r\)个人买了东西，求每个人实际买了东西的概率。（\(1<=n<=20\)）

• 记\(r\)个人买了东西的事件为\(E\)，第\(i\)个买东西的事件为\(E_i\)，则我们要求的是\(P(E_i|E)\)
• 条件概率公式告诉我们\(P(E_i|E)=\frac {P(E_i E)}{P(E)}\) （\(P(E_i E)\)表示事件\(E_i\)和\(E\)同时发生的概率）
• 先来看看\(P(E)\)怎么求？首先注意到这题的\(n\)只有20我们直接枚举所有购买的情况，用一个数组\(buy[1..n]\)记录每个人是否买了东西（比如1表示买0表示没买）
• 直接\(dfs\)所有情况，枚举完一种有\(r\)个人购买的情况之后给\(P(E)\)加上这一种情况的概率：\(\prod_{i\in X} P_i\cdot\prod_{j\in Y} (1-P_j)\)（这里用\(X\)来表示所有买东西的人的集合，\(Y\)表示没有买东西的人的集合）（不要被这个东西吓到！，想想看假如3个人里有两个人买了东西，分别是第一个人和第三个人，那么这一种情况的概率是不是就是\(P_1\cdot(1-P_2) \cdot P_3\)？！）
• （上面那一串式子直接在搜的时候就顺便求出来）
• 啃完了硬骨头（对我来说是这样的）我们再来看看\(P(E_i E)\)，跟上面的方法一样，枚举的时候顺便记录数组\(buy[]\)，枚举完一种买\(r\)个东西的情况之后扫一遍\(buy[]\)，如果记\(sum[i]\)表示最后的\(P(E_i E)\)的话，那样如果第\(i\)个人买了就给\(sum[i]\)加上上面那一串式子
• 最后对于每个询问输出\(sum[i]/P(E)\)就好啦~

最后还是贴一下代码吧（然而这个只是学着书上附带的代码自己打了一遍（写的应该还比较挫
要往下拉的请慎重！~

#include<cstdio>
#include<cstring>
int kase,n,r;
bool buy[25];double p[25],sum[25];
inline void dfs(int d,int c,double prob)
{
	if(c>r||d-c>n-r+1)return;
	if(d==n+1)
	{
		sum[n+1]+=prob;
		for(int i=1;i<=n;i++)if(buy[i])
			sum[i]+=prob;
		return;
	}
	buy[d]=0;
	dfs(d+1,c,prob*(1-p[d]));
	buy[d]=1;
	dfs(d+1,c+1,prob*p[d]);
}
int main()
{
	while(scanf("%d%d",&n,&r)==2&&(n||r))
	{
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		memset(buy,0,sizeof(buy));
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
		dfs(1,0,1.0);
		printf("Case %d:\n",++kase);
		for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.6lf\n",sum[i]/sum[n+1]);
	}return 0;
}

这里直接顺便用\(sum[n+1]\)表示了\(P(E)\)
顺便，可以注意一下这里\(dfs\)的

	if(c>r||d-c>n-r+1)return;

第一个就是判断买的人有没有超过\(r\)，超过的话直接剪枝，第二个判断这条路径上没有买的人是否超过应该没有买的人，超过的话也剪掉。（这样其实也保证了\(d=n+1\)时\(c=r+1\)）

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如果有问题欢迎在评论区指出~