[OI笔记]基础图论/图算法

  • [2017.8.29 00:00]——前几天开始好好学了几天的图论,不过这最近又突然因为一些原因(其实是晚上没睡好导致白天没精神)颓废了几天…一方面为了控制自己同时也可以当做之后noip前复习用的笔记,毕竟自学党的笔记只能这样子了吧。嗯,尽量写一些比较有用的东西以后自己方便复习也方便给新人看(我自己不还是新人么x),除了图算法其他一些内容之后学到也尽量开个博客记一下…嗯大概就这样
  • 不定期更新
  • 如有错误还请指出!
  • 其实主要是留给自己用的,如果想要好好学的话还是去找比较具体的blog吧



想写的东西(大部分只留代码):

  • 图的表示/储存/访问
  • 强连通分量
  • 求最小生成树的的两种算法(K开头的那啥Kruskal跟Prim)
  • 单源最短路算法(Dij什么什么的和SPFA(Bellman-Ford队列优化))和多源最短路算法(Floyd)
  • 图的割点
  • 双联通分量(这个暂时还不会QAQ)
  • 拓扑排序
  • 欧拉路
  • 网络流相关 (开玩笑我怎么可能会网络流QwQ)
  • 一些基础的杂题



图的表示/储存/访问



  • 参考文献:算法导论

(话说这部分会比较基础觉得没问题的可以直接跳下去)(目前下面还没有)
如果比较严格的,一般记图\(G\)为一个二元组\(G=(V,E)\),其中\(V\)为有限集,称为图\(G\)顶点集\(V\)中的元素称为顶点。称为图\(G\)边集,其元素称为。两个顶点相同的称为自环。对于有向图来说\(E\)\(V\)中两个元素构成的二元关系,而无向图的边集\(E\)则是由无序的顶点对构成的,而不是有序对。
(下面还是不要用这么“严格”的说法好了,如果想看严格的说法可以参考算法导论
比如下图是一个顶点集为\(V=\{1,2,3,4,5,6\}\)边集为\(E=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),(5,6),(6,5)\}\)的有向图的栗子

QwQ啊感觉这些概念不太好讲我也表达不清楚…概念部分就这样先过了吧x想了解的还是查其他的资料吧~
下面还是说说储存吧QwQ


我常用(或者可以说是用过的)的大概就两种…邻接矩阵链式前向星,我邻接表好像不怎么用…

  • 邻接矩阵:用一个矩阵\(A\)存图的边,比如可以用\(A[u][v]\)表示图中从\(u\)\(v\)的一条边,边权就直接存在表中,不存在边一般就直接设为\(0\)\(∞\)或者是一些特殊值(具体根据实际情况)。这种表示方法可以快速查找两个点之间是否有边,以及如果有那么这条边的边权是多少,但如果有重边的话可能不太好处理,空间复杂度是\(O(n^2)\)。(目前我好像除了写Floyd以外基本没有用邻接矩阵…

  • 链式前向星:
    我们建一个结构体来表示权值为weight的边\((u,v)\)

      struct edge{int v,weight,next;};
    

    next表示这条边的下一条边的储存位置
    \(u\)呢?往下看x
    边集数组直接:

      edge Edges[M];
    

    加边只要设一个全局变量比如cnt,表示当前到第几条边
    一个head[]数组表示以i为起点第一条边的位置
    然后加一条\(u\)\(v\)的权值为\(w\)的边就直接:

      void addEdge(int u,int v,int w)
      {
          Edges[++cnt]=(edge){v,w,head[u]};
          head[u]=cnt;
      }
    

    然后注意其实这样子head[i]实际上是输入的i为起点的最后一条边,也就是反过来的,不过这在大多数情况下并不会对结果造成影响。(嘛反正我是没遇到过)

    如果需要遍历以cur为起点的所有边可以:

      for(int i=head[cur];i;i=Edges[i].next)
      {
          //
      }
    

    这样Edges[i]就是当前这条边了,你可以对她做任何事情
    然后这一部分大概就这样…
    最后强调四点需要注意的:

    • 加边注意顺序不要错(不要像我一样把w放到next把head[u]放到w里面233)
    • 无向图边集数组要开题目范围的两倍空间!
    • 无向图边集数组要开题目范围的两倍空间!!
    • 无向图边集数组要开题目范围的两倍空间!!!


强连通分量



大概就是有向图中如果任意两个点\(u\)\(v\)互相可达,那么我们就称这个图为强连通图。有向图中一个极大的强连通子图就被称为强连通分量
具体怎么求在这里不债述 (其实我也不怎么懂原理只会写模板)
有需要可以直接参考:BYVoid-有向图强连通分量的Tarjan算法


下面贴一下我平常的代码…大概长这样(临时打的不知道有没有打错…)

inline void tarjan(int i)
{
	int j;
	LOW[i]=DFN[i]=++Dindex;
	stack[++s_top]=i;
	inS[i]=1;
	for(int cur=head[i];cur;cur=edges[cur].next)
	{
		j=edges[cur].to;
		if(!DFN[j])
		{
			tarjan(j);
			LOW[i]=min(LOW[i],LOW[j]);
		}else if(inS[j])
			LOW[i]=min(LOW[i],DFN[j]);
	}
	if(DFN[i]==LOW[i])
	{
		++cntscc;
		do
		{
			j=stack[s_top]--;
			inS[j]=0;
			belong[j]=cntscc;
		}while(i!=j);
	}
}

(然后有没有人告诉我怎么证这个算法的正确性啊QAQ



丢一些模板先跑了x


因为开始正式上课了加上要准备开始学点新东西,剩下留着下次复习图论(如果有的话)再更吧
为了防止我老年痴呆症导致忘记怎么写一些模板…这里先贴几个模板(有空再来补充具体的说明)

丢模板逃x


如果有什么问题欢迎在评论区指出_(:з」∠)_

posted @ 2017-08-29 21:02  yoshinow2001  阅读(355)  评论(0编辑  收藏  举报