2019-2020PtrCampDay8-I.Euclid's Algorithm-数论

link：https://codeforces.com/gym/103261/problem/I
题意：给 \(k,d\)，求 \(\{(a+d)^k-a^k|a\in \mathbb{N}\}\) 的 \(\gcd\)，\(1\leq k,d\leq 10^{100}\).

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来复读一下题解

对每个质因子 \(p\) 考虑其对答案的贡献（好像其实很合理）
\((a+d)^k-a^k=\sum_{i=1}^k \binom{k}{i} d^i a^{k-i}\)，对于 \(\gcd\) 来说，\(p\) 的幂次取决于使得其幂次最小的 \(a\)

• （1）如果 \(p\) 不是 \(d\) 的因子，取 \(a=p\)，则 \((a+d)^k-a^k\equiv d^k\not\equiv 0(\bmod p)\)，对答案没有贡献
• （2）否则假设 \(d\) 中有 \(q_d\) 个 \(p\) 因子，\(k\) 中有 \(q_k\) 个 \(p\) 因子，同时为了使得幂次最小，我们不妨考虑 \(\gcd(a,p)=1\) 的那些 \(a\)，那么对于每一项 \(\binom{k}{i}d^i a^{k-i}\) 而言，恰有 \(q_k-q_i+i\times q_d\) 个 \(p\) 因子
• 而 \(i\) 变大 \(1\) 之后，因子个数会先变多 \(q_d\) 个，而我们假设 \(p|d\)，那么 \(q_d\geq 1\)，而 \(q_i\) 可能不变，可能减少 \(1\)
• 对于大部分 \(q_d>1\) 情况来说，显然 \(p\) 因子个数只取决于第一项，因为每往后一项至少多一个 \(p\) 因子，肯定没法通过加法（ \(p\) 进制下的进位）得到更多的 \(p\) 因子，因此 \(q_d>1\) 时质因子的贡献就是 \(q_k+q_d\).
• 而这里有一个魔鬼细节，对于 \(q_d=1\)，\(i=1\to i=2\) 要想保持不变，必然有 \(q_1=0,q_2=1\)，也就是只有 \(p=2\) 的情况是特殊的：此时这两项都是 \(q_k-0+1=q_k+1\) 和 \(q_k-1+2=q_k+1\) 个 \(p=2\) 的因子，往后也依然是这样，这时候至少有 \(q_k+2\) 个 \(p=2\) 因子
• 而这里又可以断言，其实至多也是 \(q_k+2\) 个 \(p=2\) 因子！！！因为考虑 \((a+2d)^k-a^k\) 有 \(q_k+1+1=q_k+2\) 个 \(p\) 因子，而它会等于 \([(a+2d)^k-(a+d)^k]+[(a+d)^k-a^k]\)，右边是 \(q_d=1\) 的两个式子相加，如果其至少有 \(q_k+3\) 个 \(p\) 因子，左边则至少有 \(q_k+3\) 个 \(p\) 因子，这是矛盾的

综上，对每个 \(p\) 因子有两种case：

• 首先，必须要 \(p|d\) 才有贡献：、
• （1）一般情况是 \(q_k+q_d\) 的贡献
• （2）特殊的，\(p=2\)，\(q_d=1\)，则幂次是 \(q_k+2\)

然后我们去写一发，发现wa了，为什么呢…
（2）里面还有bug…如果 \(k\) 刚刚好是 \(2\)，\((a+d)^2 -a^2 =d(2a+d)\)，答案应该直接是 \(d\times \gcd(2,d)\)，在一些情况下会和上面说的不一样（具体地，\(p=2,q_d=1\) 时），因为但为什么会出现这种情况呢…这时候对应（2）的特殊情况，\(q_k=1\) 的话，

ChatGPT写的Python代码：

import math
import sys
def main():
    d, k = map(int, sys.stdin.read().split())
    if k==2:
        print(math.gcd(k,d)*d)
        return

    qd, qk = 0, 0
    while d % 2 == 0:
        d //= 2
        qd += 1
    while k % 2 == 0:
        k //= 2
        qk += 1
    ans = d * math.gcd(pow(d, 332), k)
    if qd == 1: 
        ans *= 2 ** (qk + 2)
    elif qd!=0:
        ans *= 2 ** (qk + qd)
    print(ans)

if __name__ == "__main__":
    main()