2019-2020PtrCampDay8-I.Euclid's Algorithm-数论

link：https://codeforces.com/gym/103261/problem/I
题意：给 $k,d$，求 $\{(a+d{)}^k-a^k|a\in \mathbb{N}\}$ 的 $gcd$，$1\le k,d\le {10}^{100}$.

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来复读一下题解

对每个质因子 $p$ 考虑其对答案的贡献（好像其实很合理）
$(a+d{)}^k-a^k=\sum _{i=1}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})d^i{a}^{k-i}$，对于 $gcd$ 来说，$p$ 的幂次取决于使得其幂次最小的 $a$

• （1）如果 $p$ 不是 $d$ 的因子，取 $a=p$，则 $(a+d{)}^k-a^k\equiv d^k\not\equiv 0(modp)$，对答案没有贡献
• （2）否则假设 $d$ 中有 $q_d$ 个 $p$ 因子，$k$ 中有 $q_k$ 个 $p$ 因子，同时为了使得幂次最小，我们不妨考虑 $gcd(a,p)=1$ 的那些 $a$，那么对于每一项 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})d^i{a}^{k-i}$ 而言，恰有 $q_k-q_i+i\times q_d$ 个 $p$ 因子
• 而 $i$ 变大 $1$ 之后，因子个数会先变多 $q_d$ 个，而我们假设 $p|d$，那么 $q_d\ge 1$，而 $q_i$ 可能不变，可能减少 $1$
• 对于大部分 $q_d>1$ 情况来说，显然 $p$ 因子个数只取决于第一项，因为每往后一项至少多一个 $p$ 因子，肯定没法通过加法（ $p$ 进制下的进位）得到更多的 $p$ 因子，因此 $q_d>1$ 时质因子的贡献就是 $q_k+q_d$.
• 而这里有一个魔鬼细节，对于 $q_d=1$，$i=1\to i=2$ 要想保持不变，必然有 $q_1=0,q_2=1$，也就是只有 $p=2$ 的情况是特殊的：此时这两项都是 $q_k-0+1=q_k+1$ 和 $q_k-1+2=q_k+1$ 个 $p=2$ 的因子，往后也依然是这样，这时候至少有 $q_k+2$ 个 $p=2$ 因子
• 而这里又可以断言，其实至多也是 $q_k+2$ 个 $p=2$ 因子！！！因为考虑 $(a+2d{)}^k-a^k$ 有 $q_k+1+1=q_k+2$ 个 $p$ 因子，而它会等于 $[(a+2d{)}^k-(a+d{)}^k]+[(a+d{)}^k-a^k]$，右边是 $q_d=1$ 的两个式子相加，如果其至少有 $q_k+3$ 个 $p$ 因子，左边则至少有 $q_k+3$ 个 $p$ 因子，这是矛盾的

综上，对每个 $p$ 因子有两种case：

• 首先，必须要 $p|d$ 才有贡献：、
• （1）一般情况是 $q_k+q_d$ 的贡献
• （2）特殊的，$p=2$，$q_d=1$，则幂次是 $q_k+2$

然后我们去写一发，发现wa了，为什么呢…
（2）里面还有bug…如果 $k$ 刚刚好是 $2$，$(a+d{)}^2-a^2=d(2a+d)$，答案应该直接是 $d\times gcd(2,d)$，在一些情况下会和上面说的不一样（具体地，$p=2,q_d=1$ 时），因为但为什么会出现这种情况呢…这时候对应（2）的特殊情况，$q_k=1$ 的话，

ChatGPT写的Python代码：

import math
import sys
def main():
    d, k = map(int, sys.stdin.read().split())
    if k==2:
        print(math.gcd(k,d)*d)
        return
 
    qd, qk = 0, 0
    while d % 2 == 0:
        d //= 2
        qd += 1
    while k % 2 == 0:
        k //= 2
        qk += 1
    ans = d * math.gcd(pow(d, 332), k)
    if qd == 1: 
        ans *= 2 ** (qk + 2)
    elif qd!=0:
        ans *= 2 ** (qk + qd)
    print(ans)
 
if __name__ == "__main__":
    main()