CF976-F. Count Leaves-min25筛（红温了）

link：https://codeforces.com/contest/2020/problem/F
题意：给定 $n,d,k$，用如下方式构造树$T_{n,d}$：

• 树的根是一个标有数字 $n$ 的节点。这是树的第 $0$ 层。
• 对于从 $0$ 到 $d-1$ 的每个 $i$ ，对于第 $i$ 层的每个顶点，执行以下操作：如果当前顶点标记为 $x$ ，创建其子顶点并标记为 $x$ 的所有可能的不同因此 。这些子顶点将位于 $(i+1)$ 层。
• $d$ 层上的顶点就是树的叶子。
  $f(n,d)$ 表示 $T_{n,d}$ 的叶子结点个数，求 $\sum _{i=1}^{n}f(i^k,d)$，$1\le n\le {10}^9,1\le k,d\le {10}^5$.

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（喜欢赛后过题）

观察 $f(n,d)$ 对于固定的 $d$，递推一次相当于求一次因子个数，第二次则是因子的因子个数之和，也就是 $f(n,1)=(d\circ 1)(n)$，$f(n,2)=(d\circ 1\circ 1)(n)$ 以此类推（这两句话里的“$d$ “表示的是因子个数的函数），我们知道积性函数的Dirichlet卷积还是积性函数，因此 $f(n,d)$ 是关于 $n$ 的积性函数

因此只要考虑 $f(p^q,d)$，每一层往下相当于做一个前缀和，答案是 $\frac{1}{(1-x{)}^{q+1}}$ 中 $[x^d]$ 的系数，广义二项式定理展开是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+q}{d})$，那么对于 $f(p^{kq},d)$ 就是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{kq+d}{d})$，那么现在要求这个东西的前缀和，感觉没什么好的办法，直接上一个min25筛：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int MOD=1e9+7;
constexpr int N=3e6+5;
int ksm(int a,int b){
    int ret=1;a%=MOD;
    for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%MOD)if(b&1)ret=(ll)ret*a%MOD;
    return ret;
}
int inv(int x){return ksm(x,MOD-2);}
int fact[N],inv_fact[N];
void init(){
    fact[0]=1;
    rep(i,1,N-1)fact[i]=(ll)fact[i-1]*i%MOD;
    inv_fact[N-1]=inv(fact[N-1]);
    for(int i=N-1;i>=1;i--)inv_fact[i-1]=(ll)inv_fact[i]*i%MOD;
}
int C(int n,int k){
    if(k>n)return 0;
    return (ll)fact[n]*inv_fact[k]%MOD*inv_fact[n-k]%MOD;
}
namespace Min25{  
    constexpr int maxs=2e5;
    void add(int &x,const int & y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
    void dec(int &x,const int & y){x+=MOD-y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
    int sum(const int &x,const int & y){return x+y<MOD?x+y:(x+y-MOD);}
    int sub(const int &x,const int & y){return x<y?x+MOD-y:x-y;}
    template<typename T>long long sqrll(const T&x){return (ll)x*x;}
 
    long long global_n,lis[maxs + 1];
    int K,d;
    int pri[maxs / 7], lpf[maxs + 1], spri[maxs + 1],pcnt,lim,cnt;
    int le[maxs + 1],ge[maxs + 1];//x<=sqrt(n),x>sqrt(n)
    int G[maxs + 1][2], Fprime[maxs + 1];
 
    #define idx(v) (v <= lim ? le[v] : ge[global_n / v])
    void sieve(const int &n) {
        rep(i,2,n){
            if(!lpf[i]){
                lpf[i]=++pcnt;
                pri[lpf[i]]=i;
                spri[pcnt]=sum(spri[pcnt-1],1);//
            }
            for(int j=1,v;j<=lpf[i];j++){
                v=i*pri[j];
                if(v>n)break;
                lpf[v]=j;
            }
        }
    }
    void init(const int &n,int _k,int _d){//calc Fprime
        global_n=n;
        K=_k;d=_d;
        cnt=0;
        for(ll i=1,j,v;i<=n;i=n/j+1){
            j=n/i;v=j%MOD;
            lis[++cnt]=j;
            (j<=lim?le[j]:ge[n/j])=cnt;
            G[cnt][0]=sub(v,1ll);//
        }
        rep(k,1,pcnt){
            const int p=pri[k];
            const ll sqrp=sqrll(p);
            for(int i=1;lis[i]>=sqrp;i++){
                const ll v=lis[i]/p;
                const int id=idx(v);
                dec(G[i][0],sub(G[id][0],k-1));
            }
        }
        rep(i,1,cnt)Fprime[i]=(ll)G[i][0]*C(K+d,d)%MOD;//
    }
    int fp(const int &p,const int &c){return C(c*K+d,d);}//
    int F(const int &k,const ll &n){
        if(pri[k]>n||n<=1)return 0;
        const int id=idx(n);
        int ans=sub(Fprime[id],(ll)spri[k-1]*C(K+d,d)%MOD);//
        for(int i=k;i<=pcnt&&sqrll(pri[i])<=n;i++){
            long long pw=pri[i],pw2=sqrll(pw);
            for(int c=1;pw2<=n;c++,pw=pw2,pw2*=pri[i])
            add(ans,((ll)fp(pri[i],c)*F(i+1,n/pw)+fp(pri[i],c+1))%MOD);
        }
        return ans;
    }
}
 
int main(){
    fastio;
    int tc;cin>>tc;
    init();
    Min25::lim=sqrt(1e9);
    Min25::sieve(Min25::lim+1000);
    while(tc--){
        int n,k,d;
        cin>>n>>k>>d;
        Min25::init(n,k,d);
        cout<<(Min25::F(1,n)+1)%MOD<<endl;
    }
    return 0;
}