HDU7518-min-max容斥，差分性质/贝塔函数，整式递推

link：https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7518
（翻译过来的）题意：有 \(n\) 种颜色的球，每种都有 \(m\) 个，每次不放回地取出一个球，直到某种颜色的球被拿完则结束，问期望会拿几个球。
\(1\leq n,m<998244353\).

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典中典min-max容斥，对每种颜色考虑一个取完它的时间 \(T_i\) ，要求 \(\min(S)=\sum_{T\subset S,T\neq \emptyset}(-1)^{|T|+1} \max(T)\)，注意这里的含义， \(T\) 应该考虑这个子集内取完时间的最大值（中间也可能会取到 \(S-T\) 的球），因为对称所以只关心 \(|T|\)，假设选了 \(k\) 种颜色的球，这 \(km\) 个球固定了，剩下 \((n-k)m\) 个球每插入到 \(km+1\) 个空中的前 \(km\) 个都会对操作次数产生+1的贡献，这又是等概率的，因此这部分的期望次数是 \(km+\frac{km}{km+1}(n-k)m=\frac{k^2 m^2+km+km^2 n-k^2 m^2}{km+1}=\frac{km(nm+1)}{km+1}\)，答案就是 $$\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} \frac{(nm+1)km}{km+1} =(nm+1) \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} \frac{km}{km+1}$$
对后面的和式进行一些处理：

\[\begin{aligned} r&=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{n}{k} \frac{km}{km+1}=\sum_{k=0}^n(-1)^k \binom{n}{k}[1-\frac{km}{km+1}-1]=\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{km+1}-(1+(-1))^n \end{aligned}\]

因为这里 \(n\geq 1\)，因此后面一项可以认为是 \(0\)，因此最后要求的是 $$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{km+1}$$

差分算子

差分考虑 \(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\)，和一个移位算子 \(Ef(x)=f(x+1)\)，则 \(\Delta=E-I\)，对算子使用二项式定理：

\[\Delta^n =\sum_{k} \binom{n}{k} E^k (-1)^{n-k} \]

将其作用在具体的函数上，就有： $$\Delta^n f(x)=\sum_k (-1)^{n-k}\binom{n}{k} f(x+k)$$跟我们要求的只差一个 \((-1)^n\)，在这里令 \(f(x)=\frac{1}{1+xm}\)，相当于求 \(\Delta^n f(0)\)，手算 \(f(x)\) 的差分：

\[\Delta f(x)=\frac{1}{1+m(x+1)}-\frac{1}{1+mx}=\frac{-m}{(1+mx)[1+m(x+1)]} \]

\[\Delta^2 f(x)=\Delta f(x+1)-\Delta f(x)=\frac{-m(1+mx)+m(1+m(x+2))}{[1+mx][1+m(x+1)][1+m(x+2)]}=\frac{2m^2}{[1+mx][1+m(x+1)][1+m(x+2)]} \]

以此类推，做 \(k\) 阶差分通分时，相当于要凑上一个 \(1+mx\) 和 \(1+m(x+k)\)，因此分子会多一个 \(-km\)，因此 $$\Delta^n f(x)= \frac{(-1)^n n! m^n }{\prod_{k=0}^n [1+m(x+k)]}$$
代入 \(x=0\)，得到最后结果刚好是 $$\frac{n! m^n }{\prod_{k=1}^n (1+mk)}$$

贝塔函数暴算

前置知识：第一类欧拉积分 $$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt.$$

\[B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!} \]

开始推式子：

注意到 \(\int_0^1 x^n dx=\frac{1}{n+1}\) （数学中的trick，考虑把麻烦的分母化成积分）：

\[\begin{aligned} r&=\int_0^1\sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n}{k} (x^{m})^k dx=\int_0^1 (1-x^m)^n dx \end{aligned}\]

令 \(t=x^{m}\),\(dt=m x^{m-1}dx\)，也就是 \(x=t^{1/m},dx=\frac{1}{m} x^{1-m}dt=\frac{1}{m}t^{1/m-1}dt\)，代入：

\[\begin{aligned} r&=\int_0^1 (1-t)^n\frac{1}{m} t^{1/m-1}dt=\frac{1}{m}\cdot B(\frac{1}{m},n+1)=\frac{1}{m} \frac{(\frac{1}{m}-1)!n!}{(n+\frac{1}{m})!}\\&=\frac{(1/m)! n!}{(n+1/m)!}=1/\binom{n+\frac{1}{m}}{n}\end{aligned}\]

而 $$\binom{n+1/m}{n}=\frac{1}{n!} \prod_{i=0}^{n-1} (\frac{1+nm-im}{m})=\frac{1}{n!}\prod_{i=1}^n \frac{1+im}{m}$$
因此 $$r=\frac{m^n n!}{\prod_{i=1}^n(im+1)}$$

整式递推

我们知道了答案就是 \((nm+1)m^n n!\prod_{k=1}^n \frac{1}{km+1}\)，阶乘和后面的连乘都可以用整式递推解决。
套个板子，结束，下班！