HDU7458-启发式合并优化DP

link：https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7458
题意：给一棵树，每个点有点权 \(w\) 和颜色 \(c\)，选择若干条不相交的路径，每条路径的起始点颜色相同，权值为起始点的权值之和，最大化权值之和。

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对每条路径 \((u,v)\) 可以放到LCA上考虑，即我们对每个子树考虑，设 \(f(i,0/1)\) 分别表示在 \(i\) 的子树内，强制选/不选 \(i\) 号点，在子树内能获得的最大收益，\(g(i)=\max(f(i,0),f(i,1))\)，记 \(S_u\) 表示 \(u\) 的所有子节点好了，那么：

\[f(x,0)=\sum_{v\in S_x}g(v) \]

\(f(x,1)\)有几种情情况：从某两个不同的子节点中的某两个同色点连上来的，或者是直接从 \(x\) 作为一个端点连到某个孩子节点的，第一种情况是：

算答案的时候刚好多减去一个 \(g\)，所以我们直接对每个子树中每个颜色，维护 \(w_{u1}+\sum (f(u_i,0)-g(u_i))\) 的最大值，因为对每个颜色只关心最大值，可以用一个 map （甚至可以是unordered的）维护，每跳一层就给这个子树做一个全局加 \(f(u,0)-g(u)\) 的操作，用树上启发式合并的办法，同时维护一个加法标记即可。

对于直接从 \(x\) 连下去的情况类似

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int n,c[N];
ll f[N][2],g[N],w[N];
vector<vector<int>> G;

int bl[N];
ll tag[N];
map<int,ll> mp[N];
void upd(ll &x,ll y){x=max(x,y);}
void dfs(int x,int fa){
    f[x][0]=f[x][1]=g[x]=0;
    for(auto to:G[x])if(to!=fa){
        dfs(to,x);
        f[x][0]+=g[to];
    }

    for(auto v:G[x])if(v!=fa){
        if(mp[bl[v]].count(c[x]))upd(f[x][1],(mp[bl[v]][c[x]]+tag[bl[v]])+f[x][0]+w[x]);
        //merge v to x;
        if(mp[bl[v]].size()>mp[bl[x]].size())swap(bl[v],bl[x]);

        //calc
        for(auto [col,val]:mp[bl[v]]){
            if(mp[bl[x]].count(col))
                upd(f[x][1],(val+tag[bl[v]])+(mp[bl[x]][col]+tag[bl[x]])+f[x][0]);
        }

        //merge
        for(auto [c,val]:mp[bl[v]]){
            if(mp[bl[x]].count(c))upd(mp[bl[x]][c],val+tag[bl[v]]-tag[bl[x]]);
            else mp[bl[x]][c]=val+tag[bl[v]]-tag[bl[x]];
        }
    }
    if(mp[bl[x]].count(c[x]))upd(mp[bl[x]][c[x]],w[x]-tag[bl[x]]);
    else mp[bl[x]][c[x]]=w[x]-tag[bl[x]];

    g[x]=max(f[x][0],f[x][1]);

    tag[bl[x]]+=f[x][0]-g[x];
}

void solve(){
    cin>>n;
    rep(i,1,n)cin>>c[i];
    rep(i,1,n)cin>>w[i];
    G=vector<vector<int>> (n+1);
    rep(i,1,n)bl[i]=i,tag[i]=0,mp[i].clear();
    rep(i,1,n-1){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,-1);
    // rep(i,1,n)cout<<f[i][0]<<' '<<f[i][1]<<' '<<g[i]<<endl;
    cout<<g[1]<<endl;
}
int main(){
    fastio;
    int tc;cin>>tc;
    while(tc--)solve();
    return 0;
}