Bubble Cup13-K. Lonely Numbers-小清新数论

link：https://codeforces.com/contest/1423/problem/K
题意：对两个不同正整数 \(a,b\) ，称他们是朋友，当且仅当 \(\gcd(a,b),\frac{a}{\gcd(a,b)},\frac{b}{\gcd(a,b)}\) 作为边长可以构成三角形。
在 \(\{1,\dots,n\}\) 中，称一个数是孤独的，若其和任一数都不是朋友，问 \(1\) 到 \(n\) 中有多少个数是孤独的。

\(T\leq 10^6,n\leq 10^6\).

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打表找规律就不说了，没什么意思。

这题的样例应该来说很有启发性，对于 \(n=5\) 的情况， \(1,3,5\) 是孤独的，而 \(n=10\) 的时候，变成 \(1,5,7\)，原本的 \(3\) 不再孤独，因为 \(3\) 和 \(9\) 可以凑成一对，得到 \(3,1,3\) 可以构成三角形。

假设某个数是合数 \(x=p\cdot q\) ，并且我们让\(p,q>1\) ，考虑 \(y=p\cdot (q-1)\)，因为 \(\gcd(q,q-1)=1\)，所以 \(\gcd(x,y)=p\)，得到三个数 \(p,q,q-1\)，这么分析好像看不出什么，但我们总是可以强制让 \(p\) 是最小质因子，因此 \(p\leq q\)，那么 \(q+(q-1)>p\)，并且 \(p+q>q-1\)，\(p+(q-1)>1+(q-1)=q\)，所以合数总是不孤独的。

对于某个素数 \(p\)，其他任何数和其取 \(\gcd\)，要么为 \(p\)，要么为 \(1\)：

• 假设 \(\gcd(x,p)=1\)，则得三数为 \(1,p,x\)，若 \(x\leq p-1\)，则 \(x+1\leq p\)，若 \(x\geq p+1\)，则 \(1+p\leq x\)，此时都不行。
• 反之，如果 \(x=k\cdot p\)，则得到三数为 \(p,1,k\)，其中 \(k\geq 2\)，我们希望满足 \(1+k> p\)，那么 \(k\geq p\)，因此 \(x\geq p^2\).

因此得到结论：某数 \(p\) 是孤独的，当且仅当 \(p\) 是素数，且 \(p^2\leq n\)，因此一个素数 \(p\) 不孤独，当且仅当 \(p^2>n\).

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int pri[N],tot,s[N];
bool not_pri[N];
int main(){
    fastio;
    rep(i,2,N-5){
        if(!not_pri[i])pri[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N-5;j++){
            not_pri[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
    rep(i,2,N-5)s[i]=s[i-1]+(!not_pri[i]);

    int tc;cin>>tc;
    while(tc--){
        int n;cin>>n;
        cout<<s[n]-s[(int)sqrt(n)]+1<<endl;
    }
    return 0;
}