CF1967C. Fenwick Tree-算子展开，树状数组的结构

毛主席说，繁琐哲学总是要灭亡的。

感觉官方题解写得不够启发性，看群友在讨论什么数学归纳法来证明转移系数的…我想这种办法更是没什么启发性，过程也繁琐，叫人搞不懂。遂开篇博客写了下自己的想法，希望能够有些抛砖引玉的作用。

link：https://codeforces.com/problemset/problem/1967/C
题意：定义 \(f(a)=s\) 中的 \(f\) 表示把序列 \(a\) 映射为其树状数组的操作（\(s\) 就是对应的树状数组），并且操作是在取模下作的，已知 \(f^k (a)=b\)，已知序列 \(b\) 和自然数 \(k\)，求 \(a\).

\(1\leq n\leq 2\times 10^5,1\leq k\leq 10^9\).

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\(f^k(a)=b\)，把 \(f\) 看成一个序列的映射，\(f\) 的逆运算 \(f^{-1}\)能够表示出来：

例如原本

\[\begin{aligned} s_1&=a_1\\ s_2&=a_1+a_2\\ s_3&=a_3\\ s_4&=a_1+a_2+a_3+a_4\\ s_5&=a_5\\ s_6&=a_5+a_6 \end{aligned}\]

则逆运算相当于要求我们反过来用 \(s\) 求 \(a\)：

\[\begin{aligned} a_1&=s_1\\ a_2&=s_2-s_1\\ a_3&=s_3\\ a_4&=s_4-s_3-(s_2-s_1)-s_1=s_4-s_3-s_2\\ a_5&=s_5\\ a_6&=s_6-s_5 \end{aligned}\]

根据我们平常写树状数组的习惯也可以看得出，一次逆运算就是反过来，把每个数 \(a_i\) 加到 \(s_i\)，同时把 \(-a_i\) 加到 \(s[i+lowbit(i)]\) 的位置。

所以可以把 \(f^{-1}\) 拆开看，\(a_i\) 加到 \(s_i\) 是单位映射\(I\)（把a序列原封不动地映射成a序列），后面的操作用一个符号 \(A\) 表示把\(a_i\) 加到 \(s[i+lowbit(i)]\) 上，整个\(f^{-1}=I-A\).

不难发现，仅对 \(I,A\) 来说，运算是有交换律与结合律的，因此我们直接对运算采用二项式定理： $$a=f^{-k} b=(I-A)^k b=\Big[\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}(-1)^i A^i \Big] (b)$$
其中 \(A\) 表示上述运算， \(A^i\) 表示运算复合 \(i\) 次，比如 \(A^2\) 作用在 \(b_i\) 上，就表示将其加到 \(s[i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i))]\) 上，也就是在Fenwick Tree上跳两步的事情。很明显跳lowbit的过程至多 \(O(\log n)\) 步就会停止，因此和式中的 \(i\) 只需要处理大约20项左右，总的时间复杂度就是 \(O(n\log n)\)的。

代码很简单：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
const int MOD=998244353;
int ksm(int a,int b){
    int ret=1;
    for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%MOD)if(b&1)ret=(ll)ret*a%MOD;
    return ret;
}
int n,k,b[N],ans[N];
int inv_fact[100];
int C(int n,int k){
    if(k>n)return 0;
    int ret=1;
    for(int i=n;i>=n-k+1;i--)ret=(ll)ret*i%MOD;
    return (ll)ret*inv_fact[k]%MOD;
}
int lowbit(int x){return x&-x;}
int main(){
    fastio;
    inv_fact[0]=1;
    rep(i,1,50)inv_fact[i]=(ll)inv_fact[i-1]*ksm(i,MOD-2)%MOD;
    int tc;cin>>tc;
    while(tc--){
        cin>>n>>k;
        rep(i,1,n)ans[i]=0;
        rep(i,1,n){
            cin>>b[i];
            for(int t=0,j=i;j<=n;j+=lowbit(j),t++){
                if(t&1)ans[j]=(ans[j]+MOD-(ll)C(k,t)*b[i]%MOD)%MOD;
                else ans[j]=(ans[j]+(ll)C(k,t)*b[i])%MOD;
            }
        }
        rep(i,1,n)cout<<ans[i]<<' ';
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}