CF940F.Machine Learning-带修莫队、Mex

给一个序列 \(a\)，两个操作：

• 1、给 \(l,r\) ，设 \(a_l,\dots,a_r\) 这些数集中每个数 \(v\) 的出现次数是 \(c_v\)，要求 \(\mathrm{mex} (c_i)\) .
• 2、单点修改

\(1\leq n,q\leq 10^5\)，时限4s

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这种一眼看过去很难维护的信息，一般就先找找性质。

首先注意到关键性质：要求的是出现次数的mex，如果mex是 \(m\) 的话，意味着存在出现 \(1,\dots,m-1\) 次的数字，则区间长度至少是 \(1+2+\dots+(m-1)=O(m^2)\)，所以mex至多是 \(O(\sqrt n)\) 的。

如果添加一个数字\(v\)，会让 \(cnt_v\to cnt_v+1\)，同时假设 \(sz_i\) 表示出现 \(i\) 次的数字个数，则会让原本的 sz[cnt[v]]--，以及 sz[cnt[v]+1]++，删除操作同理，对 cnt,sz 的修改都可以 \(O(1)\) 完成。
那如何维护mex呢？一开始我犯了个错误就是企图在莫队里动态维护mex，明明一读完题就看出来 \(O(\sqrt n)\) 的性质了…

直接用带修莫队维护 cnt,sz 的信息，对于每个询问，\(O(\sqrt n)\) 地暴力跑mex就行了…这样的复杂度是 \(O(q\sqrt n+n^{5/3})\) 的，瓶颈是在带修莫队上面。

写这道题的时候主要犯了两个错误：

• 一是想的时候没有去想把求解mex和莫队分开，想破了脑子不知道怎么快速更新mex的信息，最后看了眼题解马上就懂了。
• 二是写代码的时候，居然把离散化写错了…调试调了半天…

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct Query{int l,r,idx,times;}Q[N];
struct Modify{int p,x;}M[N];
int n,q,cq,cm;
int cnt[N<<1],sz[N],a[N],b[N<<1],tot,ans[N];
int bl[N],S;
void add(int v){
    sz[cnt[v]]--;
    cnt[v]++;
    sz[cnt[v]]++;
}
void del(int v){
    sz[cnt[v]]--;
    cnt[v]--;
    sz[cnt[v]]++;
}
void modify(int ql,int qr,int t){
    int p=M[t].p;
    if(ql<=p&&p<=qr)del(a[p]);
    swap(a[p],M[t].x);
    if(ql<=p&&p<=qr)add(a[p]);
}
int get_ans(){
    rep(i,1,N-5)if(!sz[i])return i;
    return -1;
}
int main(){
    fastio;
    //prework
    cin>>n>>q;
    rep(i,1,n)cin>>a[i],b[++tot]=a[i];
    rep(i,1,q){
        int op,l,r,p,x;
        cin>>op;
        if(op==1){
            cq++;
            cin>>Q[cq].l>>Q[cq].r;
            Q[cq].idx=cq;
            Q[cq].times=cm;
        }else{
            cm++;
            cin>>M[cm].p>>M[cm].x;
            b[++tot]=M[cm].x;
        }
    }
    sort(b+1,b+tot+1);
    tot=unique(b+1,b+tot+1)-(b+1);
    auto get=[&](int v)->int{
        return lower_bound(b+1,b+tot+1,v)-b;
    };
    rep(i,1,n)a[i]=get(a[i]);
    rep(i,1,cm)M[i].x=get(M[i].x);

    //block
    S=pow(n,2.0/3.0)+1;
    rep(i,1,n)bl[i]=(i-1)/S+1;
    sort(Q+1,Q+cq+1,[&](Query a,Query b){
        if(bl[a.l]!=bl[b.l])return a.l<b.l;
        if(bl[a.r]!=bl[b.r])return a.r<b.r;
        return a.times<b.times;
    });

    //Mo's algorithm
    int l=Q[1].l,r=Q[1].l-1,now=0;
    rep(i,1,cq){
        int ql=Q[i].l,qr=Q[i].r,qt=Q[i].times;
        while(l>ql)add(a[--l]);
        while(r<qr)add(a[++r]);
        while(l<ql)del(a[l++]);
        while(r>qr)del(a[r--]);
        while(now<qt)modify(ql,qr,++now);
        while(now>qt)modify(ql,qr,now--);
        ans[Q[i].idx]=get_ans();
    }
    rep(i,1,cq)cout<<ans[i]<<endl;
    return 0;
}