CF1011E.Border-裴蜀定理

link：https://codeforces.com/contest/1011/problem/E
题意绕来绕去的不讲人话，看了半天。
翻译过来就是，给 \(a_1,\dots,a_n\) ，和一个数 \(k\)，求所有的 \(d\) 满足：存在某个 \(a_1,\dots,a_n\) 的线性组合 \(\sum a_i w_i\) 在模 \(k\) 意义下恰为 \(d\).

\(1\leq n,k\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^9\).

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以前数学算法可能不是很普及，E题居然还能出这种东西…取模肯定是比不取模简单许多了（不然如果要求 \(w_i\geq 0\) 之类的还更麻烦…）

因为\(a\) 序列的理想是 \(\gcd(a_1,\dots,a_n)\) ，\(d\) 的所有可能取值自然是理想的模 \(k\) 下的倍数， 而这恰是理想和 \(k\) 生成的理想，即 \(\gcd(a_1,\dots,a_n,k)\) 的所有倍数…当然这题 \(k\) 很小，可以暴力枚举\(\gcd(a_1,\dots,a_n)\) 的倍数也行…

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,k,a[N];
int main(){
    fastio;
    cin>>n>>k;
    rep(i,1,n){
        cin>>a[i];
        a[i]%=k;
    }
    int d=k;
    rep(i,1,n)d=__gcd(a[i],d);
    vector<int> ans;
    ans.push_back(0);
    if(d){
        for(int i=d;i<k;i+=d)ans.push_back(i);
    }
    cout<<ans.size()<<endl;
    for(auto x:ans)cout<<x<<' ';
    return 0;
}

小彩蛋：时间复杂度

复杂度乍一看是 \(O(n\log \max a)\) 的？并不是，虽然单独求 \(\gcd\) 可能是 \(O(\log \max a)\)，但是这里求的是所有数的gcd，实际的复杂度会更优：
首先计算 \(\gcd(a,b)=d\) 和计算 \(\gcd(a/d,b/d)=1\) 的代价是一样的，因此如果 \(\gcd(a,b)=d\)，求解 \(\gcd\) 的代价其实是 \(O(\min(a,b)/d)\)，那么这里求连续的 \(\gcd\) 的复杂度其实应该是：

\[O(\sum_{i=2}^n (1+\log\frac{\min(d_{i-1},a_i)}{d_i}))\leq O(n+\sum_{i=2}^n \log \frac{d_{i-1}}{d_i})=O(n+\log\max a_i) \]

所以这里复杂度的关系其实是加上去的，而不是乘。