CF1951D.Buying Jewels-构造

link：https://codeforces.com/contest/1951/problem/D
题意：有一个人持有 $n$ 元钱来买商品，想买恰好 $k$ 件，你需要构造一个长度不超过 $60$ 的序列 $p_1,\dots ,p_s$，表示每个摊位商品的价格，对方会按照 $1,\dots ,s$ 的顺序依次访问，并且每次买尽可能多的商品。

$1\le n,k\le {10}^{18}$

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应该可以说是很有意思的题，构造题给了 $s\le 60$ 的条件，怎样想到直接构造长度 $\le 2$ 的答案？

第一次会买 $\lfloor n/p_1\rfloor$ 件商品，剩下 $nmod{p}_1$ 元钱，第二次买 $\lfloor nmod{p}_1/p_2\rfloor$ 件商品，剩下 $nmod{p}_{1}mod{p}_2$ 元…
首先需要有一个感觉，纯粹的下取整和取模的序列是很难分析（也很难计算的），对这一点有了把握后再去考虑简化问题：

• 首先 $k>n$ 一定无解，$k=n$ 可以直接构造
• $k<n$ 的情况下， $p_1$ 如果是1的话只能买 $n$ 件商品，那么 $p_1\ge 2$，第一次至多买 $\lfloor n/2\rfloor$ 件商品，剩下 $nmod2$ 元钱，所以至多买 $\lfloor n/2\rfloor +nmod2=\lceil n/2\rceil$ 件商品，因此必要条件 之一是 $k\le \lceil n/2\rceil$
• 然后需要有一个大胆的想法，60的条件可能是有一定迷惑性的（包括一些交互题也是）
• 用两次构造能不能构造出来，最好的情况下是第二次直接 $p_2=1$
• 那就希望有$nmod{p}_1=k-\lfloor n/p_1\rfloor$，然后又一个尝试 $\lfloor n/p_1\rfloor =1$ 是否可行，这意味着 $p_1\le n\le 2p_1-1$，此时 $n-p_1=k-1$，得到 $p_1=n-k+1$，代回来 $2p_1-1=2n-2k+2$，而条件有 $-2k\ge 2\lceil n/2\rceil$，则 $2p_1-1\ge 2n-2\lceil n/2\rceil +2\ge 2n-2(n/2+1)+2\ge 2n-n-2+2\ge n$
• 所以这样就构造出来了…

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
    fastio;
    int tc;cin>>tc;
    while(tc--){
        ll n,k;
        cin>>n>>k;
        if(k>n)cout<<"NO"<<endl;
        else if(k==n){
            cout<<"YES"<<endl;
            cout<<1<<endl<<1<<endl;
        }else if(k<=(n+1)/2){
            cout<<"YES"<<endl;
            cout<<2<<endl;
            cout<<n-k+1<<' '<<1<<endl;
        }else cout<<"NO"<<endl;
    }
    return 0;
}