CF938E-组合数

link：https://codeforces.com/contest/938/problem/E
题意：给一个序列 $a$ ，按如下方式计算 $f_a$：

• 初始 $f_a=0,M=1$
• 对每个 $2\le i\le n$，如果 $a_M<a_i$，$f_a\to f_a+a_M$，然后 $M=i$
  对所有 $a$ 的排列计算 $f_a$ 并其在模 ${10}^9+7$ 下的和。
  $1\le n\le {10}^6,1\le a_i\le {10}^9$

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对每个序列的 $f_a$ 的值是一段从 $a_1$ 开始的上升序列的和，并且 $a$ 的最大值没有贡献，反过来考虑每个 $a_i<max(a)$ 的贡献：

• 设 $a_i$ 在位置 $j$ 处出现，要产生贡献当且仅当前面的数严格比 $a_i$ 小，假设这样的数有 $s_i$ 个，则有 $s_i!/(s_i-(j-1))!$ 种放法，后面的数随便放，有 $(n-j)!$ 种，$$\sum _{j=1}^n\frac{s_i!(n-j)!}{(s_i-j+1)!}=s_i!\sum _{j=1}^n\frac{(n-j)!}{(s_i-j+1)!}\frac{(n-1-s_i)!}{(n-1-s_i)!}=s_i!(n-1-s_i)!\sum _{j=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{n-1-s_i})$$经典上指标求和，翻转指标，从$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$与$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{-1})=0$，为 可以倒推：$$s_i!(n-1-s_i)!\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{n-1-s_i})=s_i!(n-1-s_i)!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-s_i})$$
• 对每个值计算贡献即可

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+55;
const int MOD=1e9+7;
int ksm(int a,int b){
    int ret=1;a%=MOD;
    for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%MOD)if(b&1)ret=(ll)ret*a%MOD;
    return ret;
}
int n,a[N],fact[N],inv_fact[N];
map<int,int> S;
int C(int n,int k){
    if(k>n)return 0;
    return (ll)fact[n]*inv_fact[k]%MOD*inv_fact[n-k]%MOD;
}
int main(){
    fastio;
    fact[0]=1;
    rep(i,1,N-5)fact[i]=(ll)fact[i-1]*i%MOD;
    inv_fact[N-5]=ksm(fact[N-5],MOD-2);
    for(int i=N-5;i>=1;i--)inv_fact[i-1]=(ll)inv_fact[i]*i%MOD;
    cin>>n;
    int mx=0;
    rep(i,1,n){
        cin>>a[i];
        S[a[i]]++;
        mx=max(mx,a[i]);
    }
    int cnt=0,ans=0;
    for(auto [x,c]:S)if(x!=mx){
        ans=(ans+(ll)x*fact[cnt]%MOD*fact[n-cnt-1]%MOD*C(n,n-cnt)%MOD*c%MOD)%MOD;
        cnt+=c;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}