【图形学笔记】Lectre11-The Rendering Equation-渲染方程

Lectre11-The Rendering Equation-渲染方程

回顾一下，irradiance（E）跟辐射度/辐照度radiance（L）有如下关系：

E = \int_{H^{2}} L (ω) \cos θ d ω

这里 $L (ω)$ 表示沿着 $ω$ 方向的

渲染器的核心，是在给定一个方向 $ω_{0}$ 以及点 $p$ 的情况下，估算亮度。

本节最重要的渲染方程（Kajiya）：

函数 $f_{r} (p, ω_{i} \to ω_{o})$ 是一个用来衡量反射光和入射光之间关系的散射函数（scattering function）。

如何给散射光建模？这情况可非常多：

我们去谈，一个粒子从入射方向散射到另一个方向的概率！

BRDF的全称是：Bidirectional reflectance distribution function 双向反射分布函数

编码了光线在表面反射的行为。
对于给定的入射方向 $ω_{i}$ ，有多少光线从给定的方向 $ω_{o}$ 散射出去？
用一个分布还是 $f_{r} (ω_{i} \to ω_{o})$ 来描述！
此时自然有 $f_{r} \geq 0$ ，并且因为能量守恒，所以

$\int_{H^{2}} f_{r} (ω_{i} \to ω_{o}) \cos θ d ω_{i} \leq 1$
以及根据一个叫Helmholtz互反律（reciprocity）的东西，有 $f_{r} (ω_{i} \to ω_{o}) = f_{r} (ω_{o} \to ω_{i})$ 。
$f_{r}$ 如何刻画？

f_{r} (ω_{i} \to ω_{r}) \equiv \frac{d L_{r} (d ω_{r})}{d E_{i} (ω_{i})} = \frac{d L_{r} (d ω_{r})}{L_{i} (ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i}}

特别地，如果 $f_{r}$ 都一样，那么根据渲染方程 $L_{o} = f_{r} \int_{H^{2}} L_{i} (ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i} = f_{r} \cdot E$ 。
这里似乎有个物理学背景， $f_{r} = ρ / π$ ，这里 $ρ \in [0, 1]$ 叫做albedo反射率。

非常直观， $- ω_{i}$ 后面需要的是 $ω_{i}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影长度：

ω_{o} = - ω_{i} + 2 \vec{n} (\vec{n} \cdot ω_{i})

那么对于镜面反射，入射光和反射光应该是对称的，所以只有在一些特定的地方有取值。

狄拉克 $δ$ 函数（Dirac delta）：并不懂它这里的狄拉克函数怎么定义的，因为标准定义似乎并不是一个严格的函数，而是这样一个函数：
- $δ (x)$ 仅在 $x = 0$ 处为非零，其他地方取值为0，但是在 $\R$ 上的积分又是1，很明显这样的函数是不存在的。
- 但实际的物理应用里，会用一些近似的函数来逼近。

这里就用到了狄拉克函数:

f_{r} (ω_{i} \to ω_{o}) = f_{r} (θ_{i}, ϕ_{i}, θ_{o}, ϕ_{o}) \equiv \frac{δ (\cos θ_{i} - \cos θ_{o}) δ (ϕ_{i} - ϕ_{o} \pm π)}{\cos θ_{i}}

这里 $ϕ, θ$ 是两个方向的夹角（看上一张图），而 $/ \cos θ_{i}$ 则对应着Lambert的余弦定律。

作为直接在表面反射的补充，光也可能穿过物体传播

斯涅耳定律（Snell's Law）： $η_{i} \sin θ_{i} = η_{t} \sin θ t$ ，经过一顿计算，可以得到
- $\cos θ_{t} = \sqrt{1 - ({\frac{η_{i}}{η_{t}}}^{2}) (1 - \cos^{2} θ_{i})}$
- 可以看出来，如果角度太大，可能直接没有折射光了（这时候对应的反射就是全反射）