【图形学笔记】Lecture06-Texture Mapping 纹理映射
Lecture06-Texture Mapping 纹理映射
首先说了一个事情，一个三维物体的表面铺开都是二维的（类似二维流形啦）。
纹理坐标的可视化，通常可以把纹理映射成 \((u,v)\in [0,1]^2\)的形式。
Barycentric Coordinates重心坐标
通常用来插值，在顶点指定值（例如纹理坐标），并在表面上平滑地获得不同的值。
三角形 \(ABC\) 所在平面任意一点 \(P\) 都可以表示成 \(\alpha A+\beta B+\gamma C\)，记为三元组 \((\alpha,\beta,\gamma)\)， 其中\(\alpha+\beta+\gamma=1\) ，三角形内的点还满足 \(\alpha,\beta,\gamma\geq 0\)。
几何观点——面积：
另一种几何观点——距离比例
Q：为什么叫重心坐标？
A：对于任意一点\(P=\alpha A+\beta B+\gamma C\)，改写成 \(\alpha \vec{PA}+\beta\vec{PB}+\gamma \vec{PC}=0\) 的形式，此时有一种经典力学上的解释，就是说假设在 \(A,B,C\) 上悬挂了重量（比例）分别为 \(\alpha ,\beta,\gamma\) 的物品，那么此时的 \(P\) 恰是他们的重心。并且我们会发现，正常的重心表示出来恰是 \((1/3,1/3,1/3)\) ，非常对称。
进一步，利用重心坐标，就去考虑三角形内一个函数 \(V\) ，如果知道在三个顶点的值，就用：
来插值，函数 $V $可以是各种东西…颜色、纹理、位置、材质…
Applying Texture 纹理的一些应用
对于屏幕上每个光栅化的采样点 \((x,y)\) ，算出纹理坐标\((u,v)\)，然后用重心坐标插值算出三角形其他点的纹理坐标。
Texture Magnification 纹理放大
如果纹理太小，图片太大怎么办？
最无脑的是采样某个像素 \((x,y)\) 对应的纹理坐标\((u,v)\) 时候，四舍五入采样最近的（就是图上的Nearest）的点，这样子效果可能不太好（因为我们假设说纹理图片太小了）
Bilinear Interpolation 双线性插值
每次选择最近的 \(4\) 个点，先在水平方向上做线性插值 \(\rm lerp(x,v_0,v_1)=v_0+x(v_1-v_0)\)，两次插值取得两个点 \(u_0,u_1\)，再在竖直方向上做一次线性插值，最后得到 \(f(x,y)=\rm lerp (t,lerp(s,u_{00},u_{01}),lerp(s,u_{10},u_{11}))\)，此处 \(s,t\) 对应着距离的比值。
注：lerp是线性插值（linear interpolation）的缩写
纹理太大
反过来，如果纹理太大，像素太小，可能也会出现锯齿/摩尔纹，问题就在于，一个像素点要如何代表很大一块纹理？如果用超采样（对像素格子）的话开销很大，而且很容易浪费。
反过来做范围查询（range query）！即对于一个区域内的像素，查询纹理坐标。
MIP Map
类似于倍增，看图应该就知道在干嘛了，存储量只会变成 \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}=\frac{4}{3}\) 倍，
如何查找在MIP Map上的哪一层？
取一个像素格\((u,v)\)，考察 \((x,y)\) 变化后，在 \(u,v\) 方向上变化的距离，取个最大值作为 \(L\) ，然后就可以理解为，需要把这个边长为 \(L\) 的正方形映射成 \(1\times 1\) 的像素格，那么自然是到 \(D=\log_2 L\) 层去查询。
Trilinear Interpolation 三线性插值
其实就讲了一句话…在双线性插值的基础上，把MIP Map的层数作为第三维，再进行一次插值，相比bicubic来说效率高多了，而且效果也很好。
Anisotropic Filtering 各向异性过滤
Ripmaps、EWA filtering…
Advanced Texturing Methods 高级纹理方法
Environment Map 环境贴图
注：这里预设了一个事情，就是环境光是垂直的，并且光强和距离无关。
Spherical Environment Map：考虑放了一个球在环境中，球上的图案就对应着环境光，所以不如直接用一个球来记录环境光！——但是靠近球的两极处的效果可能不太好。
Cube Map：用一个正方体包住球，算出在6个面上的纹理贴图。
Texture can affect shading! Bump Mapping——凹凸贴图
很明显纹理不止可以表示颜色，有时候也会用一些复杂的纹理，来定义一个点的高度，进一步确定法线，
接着就来讨论，高度是如何具体影响法线的：
假设有一个高度函数 \(h\) （这是通过凹凸纹理得出的），这里先考察二维情况，假设没有高度变化的影响，在 \(p\) 处的法线的 \(n(p)=(0,1)\)，此处的导数用 \(h(p+1)-h(p)\) 表示，这里加了个修正系数 \(c\) （大概是用来表示这个凹凸贴图的影响？以及可能这里的变化量 1 也取的有点大？），最后用 \(n(p)=(-d_p,1)\) 来代替法线。
对于三维情况呢？类似地，对两个方向计算偏导数…（当然我怀疑这里课件上隐藏了非常多细节…）
3D Procedural Noise + Solid Modeling 三维空间噪声函数
贴图又何必是图呢（hhh），比如用一个 \(\mathbb{R}^3\) 中的函数来表示某个点的贴图信息。
