【图形学笔记】Lecture06-Texture Mapping 纹理映射

Lecture06-Texture Mapping 纹理映射

目录

• Lecture06-Texture Mapping 纹理映射
  • Barycentric Coordinates重心坐标
  • Applying Texture 纹理的一些应用
    • Texture Magnification 纹理放大
    • Bilinear Interpolation 双线性插值
    • 纹理太大
    • MIP Map
    • Trilinear Interpolation 三线性插值
    • Anisotropic Filtering 各向异性过滤
  • Advanced Texturing Methods 高级纹理方法
    • Environment Map 环境贴图
    • Texture can affect shading! Bump Mapping——凹凸贴图
    • 3D Procedural Noise + Solid Modeling 三维空间噪声函数

首先说了一个事情，一个三维物体的表面铺开都是二维的（类似二维流形啦）。

纹理坐标的可视化，通常可以把纹理映射成 $(u,v)\in [0,1{]}^2$的形式。

Barycentric Coordinates重心坐标

通常用来插值，在顶点指定值（例如纹理坐标），并在表面上平滑地获得不同的值。

三角形 $ABC$ 所在平面任意一点 $P$ 都可以表示成 $\alpha A+\beta B+\gamma C$，记为三元组 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$， 其中$\alpha +\beta +\gamma =1$ ，三角形内的点还满足 $\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$。

几何观点——面积：

另一种几何观点——距离比例

Q：为什么叫重心坐标？

A：对于任意一点$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$，改写成 $\alpha \overrightarrow{PA}+\beta \overrightarrow{PB}+\gamma \overrightarrow{PC}=0$ 的形式，此时有一种经典力学上的解释，就是说假设在 $A,B,C$ 上悬挂了重量（比例）分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的物品，那么此时的 $P$ 恰是他们的重心。并且我们会发现，正常的重心表示出来恰是 $(1/3,1/3,1/3)$ ，非常对称。

进一步，利用重心坐标，就去考虑三角形内一个函数 $V$ ，如果知道在三个顶点的值，就用：

$$V=\alpha V_a+\beta V_B+\gamma V_c$$

来插值，函数 $V$可以是各种东西…颜色、纹理、位置、材质…

Applying Texture 纹理的一些应用

对于屏幕上每个光栅化的采样点 $(x,y)$ ，算出纹理坐标$(u,v)$，然后用重心坐标插值算出三角形其他点的纹理坐标。

Texture Magnification 纹理放大

如果纹理太小，图片太大怎么办？

最无脑的是采样某个像素 $(x,y)$ 对应的纹理坐标$(u,v)$ 时候，四舍五入采样最近的（就是图上的Nearest）的点，这样子效果可能不太好（因为我们假设说纹理图片太小了）

Bilinear Interpolation 双线性插值

每次选择最近的 $4$ 个点，先在水平方向上做线性插值 $\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\mathrm{x},{\mathrm{v}}_0,{\mathrm{v}}_1)={\mathrm{v}}_0+\mathrm{x}({\mathrm{v}}_1-{\mathrm{v}}_0)$，两次插值取得两个点 $u_0,u_1$，再在竖直方向上做一次线性插值，最后得到 $f(x,y)=\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\mathrm{t},\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\mathrm{s},{\mathrm{u}}_{00},{\mathrm{u}}_{01}),\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}(\mathrm{s},{\mathrm{u}}_{10},{\mathrm{u}}_{11}))$，此处 $s,t$ 对应着距离的比值。

注：lerp是线性插值（linear interpolation）的缩写

纹理太大

反过来，如果纹理太大，像素太小，可能也会出现锯齿/摩尔纹，问题就在于，一个像素点要如何代表很大一块纹理？如果用超采样（对像素格子）的话开销很大，而且很容易浪费。

反过来做范围查询（range query）！即对于一个区域内的像素，查询纹理坐标。

MIP Map

类似于倍增，看图应该就知道在干嘛了，存储量只会变成 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^n}=\frac{4}{3}$ 倍，

如何查找在MIP Map上的哪一层？

取一个像素格$(u,v)$，考察 $(x,y)$ 变化后，在 $u,v$ 方向上变化的距离，取个最大值作为 $L$ ，然后就可以理解为，需要把这个边长为 $L$ 的正方形映射成 $1\times 1$ 的像素格，那么自然是到 $D={\log }_{2}L$ 层去查询。

Trilinear Interpolation 三线性插值

其实就讲了一句话…在双线性插值的基础上，把MIP Map的层数作为第三维，再进行一次插值，相比bicubic来说效率高多了，而且效果也很好。

Anisotropic Filtering 各向异性过滤

Ripmaps、EWA filtering…

Advanced Texturing Methods 高级纹理方法

Environment Map 环境贴图

注：这里预设了一个事情，就是环境光是垂直的，并且光强和距离无关。

Spherical Environment Map：考虑放了一个球在环境中，球上的图案就对应着环境光，所以不如直接用一个球来记录环境光！——但是靠近球的两极处的效果可能不太好。

Cube Map：用一个正方体包住球，算出在6个面上的纹理贴图。

Texture can affect shading! Bump Mapping——凹凸贴图

很明显纹理不止可以表示颜色，有时候也会用一些复杂的纹理，来定义一个点的高度，进一步确定法线，

接着就来讨论，高度是如何具体影响法线的：

假设有一个高度函数 $h$ （这是通过凹凸纹理得出的），这里先考察二维情况，假设没有高度变化的影响，在 $p$ 处的法线的 $n(p)=(0,1)$，此处的导数用 $h(p+1)-h(p)$ 表示，这里加了个修正系数 $c$ （大概是用来表示这个凹凸贴图的影响？以及可能这里的变化量 1 也取的有点大？），最后用 $n(p)=(-d_p,1)$ 来代替法线。

对于三维情况呢？类似地，对两个方向计算偏导数…（当然我怀疑这里课件上隐藏了非常多细节…）

3D Procedural Noise + Solid Modeling 三维空间噪声函数

贴图又何必是图呢（hhh），比如用一个 ${\mathbb{R}}^3$ 中的函数来表示某个点的贴图信息。