【图形学笔记】Lecture04-Transforms 变换

Lecture04-Transforms 变换

目录

• Lecture04-Transforms 变换
  • Transforms 变换
  • Composite Transform 分解变换
  • 3D Transformations 三维的变换
    • 旋转
    • Rodrigues 罗德里格旋转公式
  • Viewing Transformation 视图变换
  • Projection Transformation投影变换
    • Orthographic Projection正交投影
    • Perspective Project 透视投影
    • 标准的透视投影（只看头尾）
    • Perspective to Orthographic
  • Hierarchical Transforms 层次变换

Transforms 变换

变换有什么用？1、建模。2、观察。

• Scale Transform（non-uniform anisotropic）缩放变换（非规范，各向异性），如果是规范的就叫 相似变换（Similarity Transform）。
• Reflection Transform 反射变换。
• Shear Transform 剪切变换。
• Rotate （CCW by default）旋转（默认逆时针）
• Translation 平移：需要加一个维度（齐次坐标 Homogeneous Coordinates）
  • 在齐次坐标上，$(x,y,w)$ 在2D里面对应点 $(x/w,y/w,1)(w\ne 0)$
• Affine Transformation 仿射变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

对应着先做线性变换（这里其实还有个概念叫刚体变换 Rigid Transform），再做平移

• Projective Transform 对应着任意一个矩阵

Composite Transform 分解变换

有点显然，跳了。

Q：如何沿着给定的点 $c$ 旋转？

A：先把c平移到原点，旋转，再平移回去，$M=T(c)\cdot R(\alpha )\cdot T(-c)$

3D Transformations 三维的变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

几乎一样的，先线性变换，再平移。

旋转

绕着 $x,y,z$ 轴旋转，意味着这个轴的基不动，旋转另外两个基，假设原本是$e^{xi}=\cos x+i\sin x=(X,Y)$，逆时针旋转 $\alpha$ 之后，得到$e^{(x+\alpha )i}=\cos (x+\alpha )+i\sin (x+\alpha )=X\cos \alpha -Y\sin \alpha +i(Y\cos \alpha +X\sin \alpha )$，也就是$e^{(x+\alpha )i}=(X\cos \alpha -Y\sin \alpha ,X\sin \alpha +Y\cos \alpha )$

$$R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

然后$R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_x(\alpha )\cdot R_y(\beta )\cdot R_z(\gamma )$ 叫欧拉角（注意这里是有顺序的，当然实际上关于欧拉角能说的也有很多细节，这里似乎都省略了）

Rodrigues 罗德里格旋转公式

沿着向量 $\overrightarrow{n}$ 旋转 $\alpha$，对应的转移矩阵：

$$R(\overrightarrow{n},\alpha )=\cos \alpha \cdot \mathbf{I}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\cos \alpha \mathbf{)}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}}^{\mathbf{T}}\mathbf{+}\sin \alpha \left[\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right]$$

注记：

• 1、注意这里的轴是默认过原点的，没过原点自然就要平移啦。
• 2、右边的矩阵是个什么鬼东西？仔细想，这个向量对应着叉积运算：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-y{n}_z+z{n}_y\\ x{n}_z-z{n}_x\\ -x{n}_y+z{n}_x\end{array}\right]=((n_x,n_y,n_z)\times (x,y,z){)}^T$$

Viewing Transformation 视图变换

• 相机和物体一起移动，那么得到的照片是一样的。

• 考虑把照相机移动到原点，并且朝着 $-z$ 轴的方向看，然后把物体做对应的变换。相机有哪些关键的信息？

• 需要固定观测的方向 $\overrightarrow{g}$，以及向上的方向（相机的向上方向） $\overrightarrow{t}$，同时通常会定一个向 $\overrightarrow{g}\times \overrightarrow{t}$。

也就是说假设给相机做了变换 $M_{view}$，意味着：

• 1、移动到原点。
• 2、旋转 $g$ （gaze direction）到 $-z$ 轴，旋转 $t$ 到 $y$ 轴，旋转 $g\times t$ 到 $x$ 轴。

第一步是

$$T_{view}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_e\\ 0& 0& 1& -z_e\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

第二步看起来不好求，考虑逆变换矩阵（这里相当于直接对列向量写）：

$$R_{view}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{g\times t}& x_t& x_{-g}& 0\\ y_{g\times t}& y_t& y_{-g}& 0\\ z_{g\times t}& z_t& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

然后注意到一个事实：对于任意 $n$ 维空间上的旋转变换，对应着把原本的基变成一组新的基，假设$R_{ij}=({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)$，则

$$(R\cdot R^T{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{x}_{ik}{x}_{jk}=\overrightarrow{x_i}\cdot \overrightarrow{x_j}$$

${\overrightarrow{x}}_i(i=1,\dots ,n)$ 都是单位向量，因此$(R\cdot R^T{)}_{ij}$ 当且仅当 $i=j$ 时为1，其他时候是 $0$，故 $R\cdot R^T=E$，所以对于旋转变换，逆变换矩阵=变换矩阵的转置！

$$R_{view}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{g\times t}& y_{g\times t}& z_{g\times t}& 0\\ x_t& y_t& z_t& 0\\ x_{-g}& y_{-g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

最后

$$M_{view}=R_{view}{T}_{view}$$

Projection Transformation投影变换

orthographic/perspective projection 正交/透视投影

Orthographic Projection正交投影

通过平移把立方体 $[l,r]\times [b,t]\times [f,n]$ 中心移到原点，再通过伸缩变换把立方体变成标准（canonical）立方体$[-1,-1{]}^3$。

$$M_{ortho}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -(r+l)/2\\ 0& 1& 0& -(t+b)/2\\ 0& 0& 1& -(n+f)/2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

这时候 $z\in [-1,1]$ ，在做 Z-buffer的时候比较方便。

注意： 现在的变换看来，会觉得沿着 $-z$ 轴的远/近不是很直观（n应该代表near，f应该代表far，但这里是反过来的）

Perspective Project 透视投影

三维空间怎么做透视投影？

• 1、先挤压（squish），把锥台体（frustum）变成一个立方体（cuboid）。
• 2、再做正交投影

标准的透视投影（只看头尾）

如果只看前后平面，透视投影之后 $z$ 应该是不变的

• 中心在 $(0,0,0)$，想想投影平面在 $z=d$。
• $(x,y,z)\to (x\cdot \frac{d}{z},y\cdot \frac{d}{z},d)$
• 如何用矩阵表示变换？齐次坐标！ 所有形如$(kx,ky,kz,k)$ 的齐次坐标$(k\ne 0)$，都对应着3维空间里的点 $(x,y,z)$ ！
• 所以就变成考虑：

$$\left[\begin{array}{c}x\cdot \frac{d}{z}\\ y\cdot \frac{d}{z}\\ d\\ 1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ \frac{z}{d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{d}& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

Perspective to Orthographic

我们现在希望透视到正交的这一步，能保持一些性质：

• 1、近平面和远平面的 $z$ 应该保持不变。

• 2、近平面和远平面的中心（假设平面中心穿过 $z$ 轴）的坐标应该保持不变。

• 3、 $x,y$ 变换和上面的一样，$(x,y)\to (x\frac{n}{z},y\frac{n}{z})$，其中 $n$ 表示到近平面的距离。

于是：

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x(n/z)\\ y(n/z)\\ ?\\ 1\end{array}\right]\stackrel{mult.byz}{=}\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ z?\\ z\end{array}\right]$$

假设最左边到最右边乘了个我们要的矩阵 $M_{persp\to ortho}$，那么应该有：

$$M_{persp\to ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

接着考察远近平面的中心不变这条性质，取近平面上任意一点 ，要有 $M_{persp\to ortho}(x,y,n,1{)}^T=(nx,ny,n^2,1{)}^T$，因为 $x,y$ 是任取的，所以可以直接假设矩阵的第三行形如 $(0,0,A,B)$ 的形式，那么有 $An+B=n^2$。

再考虑远平面的中心$(0,0,f,1)$，变换后是$(0,0,f,1)\sim (0,0,f^2,f)$，因此有 $Af+B=f^2$，解方程组得到

$$\{\begin{array}{rl}& An+B=n^2\\ & Af+B=f^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}A& =n+f\\ B& =-nf\end{array}$$

最终

$$M_{persp\to ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

以及

$$M_{persp}=M_{ortho}\times M_{persp\to ortho}$$

Q：那么在近平面和远平面中间的点的变化是均匀的吗？

A：并不是，比如取 $(0,0,\frac{n+f}{2},1)$ 这一点，变换后 $z$ 方向分量变为 $\frac{n^2+f^2}{2}$，很明显不是均匀的。

Hierarchical Transforms 层次变换

每个形状都有自己的变换，如果单独编辑一个元素，可以引起很多变换。

引入“骨骼”（Skeleton）的概念，分组表示：

• 每个组包含一些更小的组，或者形状
• 每个组的变换和上一级的组的变换相关
• 每个组的变换自然就是，从根节点下来的变换的复合。