【图形学笔记】Lecture09-Mesh Representation &Geometry Processing-网格表示与几何处理

Lecture09-Mesh Representation &Geometry Processing-网格表示与几何处理

Mesh Presentation网格表示

这种局部具有欧几里得性质的几何对象(严格地说:要每个点都存在一个和 \(n\) 维欧式空间同胚的邻域),就叫做流形Manifold啦(?好像没毛病但又哪里怪怪的,为什么这里要扯这玩意)

  • 位图(bitmap images):为了对图像进行编码,使用规则的像素网格,但是对于一些基本单元不是小方格的情况,效果可能不太好。
  • so为什么要用规则的网格(regular grid)呢?——Regular grids make life easy!(??)
    • 1、更简单高效,比如每个点的领域只有4个格子,标号和存储也非常方便。
    • 2、基本上可以编码任何图像
  • 但是规则的网格是位图最好的选择吗!!!
    • 并不是!可能有些不太好的结果,比如各向异性,不能捕获边缘(它在说什么?)

Smooth Surfaces光滑曲面

光滑曲面是流形,但并不是所有形状都是流形!比如下图中间那个点,不管怎么取领域都不会有欧式性质。

怎么判断简单多边形构成的图形是不是流形?有很简单的判断方式:

  • 每条边只出现在两个多边形内,即不能有“鳞”(fins)
  • 对每个顶点,包含它的多边形构成“扇形”(fans)

为什么流形这么重要呢?——可以保证数据结构和算法简单高效。

如何编码?数组、链表、块状链表(bushi)

Polygon soup-多边形汤

注:“汤”似乎是用来形容这种“无组织”的方式。

  • 基本观点
    • 每个三角形只存储三个点的坐标。
    • 没有关于连通性的信息。

Adjacency List-邻接表

(你管这玩意叫邻接表?)

用一个矩阵存结点的坐标,比如:

\[\begin{matrix} & x & y &z\\ 0:&- 1& -1 &-1\\ 1:& 1& -1& 1\\ 2:& 1 &1 &-1\\ 3:& -1 &1& 1\\ \end{matrix} \]

然后紧接着的问题是,如何快速查找所有和某个点(比如2号点)相邻(有公共边)的点?

Incidence Matrix-关联矩阵

Q:如果要快速回答“领域查询”要怎么办呢?

A:简化邻接表的存储方式!就是再用一个关联矩阵来存放信息:

\[\begin{matrix} & v0 & v1 & v2 & v3\\ e0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ e1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ e2 & 1 & 0 & 1 & 0\\ e3 & 1 & 0 & 0 & 1\\ e4 & 0 & 0 & 1 & 1\\ e5 & 0 & 1 & 0 & 1\\ \end{matrix} \]

当然很明显这样会有资源浪费,只有\(2\times |E|\) 个信息是有用的!所以课件就说用稀疏矩阵(sparse matrices)来存!

这样做的优缺点就很明显了,存储非常浪费,并且不太支持动态修改,但是查询是 \(O(1)\) 的。

Half-Edge Data Structure(Linked-list-like)-半边数据结构(类似邻接表)

即,把一条边拆成两条边

  • 存储邻域信息

  • *twin指向这条边对面的半边,*next表示下一条的半边,*edge,*face 指向所在的边和面。

进一步,每个点、线、面的信息,其实也只需要存储“半边”——对于边来说,可以用twin访问,面的话可以一直跳next

struct Halfedge{
    Halfedge* twin,* next;
    Vertex* vertex;
    Edge* edge;
    Face* face;
};
struct Edge{
	Halfedge* halfedge;
};
struct Face{
	Halfedge* halfedge;
};
struct Vertex{
    Point pt;
    Halfedge* halfedge;
};
//它这里似乎认为一个“点”vertex,是

很明显,对于网格图,这种半边数据结构能够很方便遍历。

遍历一个面:

Halfedge* h = f->halfedge;// f: face 
do {
    process(h->vertex);
    h = h->next;
}
while( h != f->halfedge );

遍历一个点周围的边:

Halfedge* h = v->halfedge;// v: vertex
do {
    process(h->edge);
    h = h->twin->next;
}
while( h != v->halfedge );

接着说,这种半边数据结构基本是“流形”,以及edge,face,vertex 的信息其实是可以隐藏起来的——真正要访问整个mesh,只需要*next,*twin两个信息:

  • 沿着next转一圈,得到整个face
  • 沿着twin走,得到这条边。
  • 沿着next->twin,得到一圈的顶点。

Q:如何表示一些不是流形的图像?(好像没给回答)

Half-Edge meshes are easy to edit

对于三角形网格,一些可能的原子/基本操作(atomic operation):翻转、分裂、坍缩

如何去分配(Allocate?)/删除一个元素,或者重新分配指针?需要非常小心地去保持流形的性质!!(这要你说?)

这三个操作课件也只是bb了一下有哪些操作,应该不需要在意具体细节:

Edge Flip(Triangles)边的翻转

\((a,b,c),(b,d,c)\to (a,d,c),(a,b,d)\),没有元素的创建/删除,但是要改很多指针…

Edge Split(Triangles)边的分裂

需要添加一个新的边\((a,d)\),同时 \((c,b)\) 中间也多了个新的点 \(m\) 需要拆开。

Edge Collapse(Triangles)边的坍缩

\((b,c)\) 边变成一个点 \(m\) ?然后删除一些元素(应该是\((c,d),(a,c)\)),以及一些指针的修改。

Geometry Processing 几何处理

扩展传统的数字信号处理(音频、视频等)以处理几何信号:

  • 上采样/下采样/重采样/滤波…
  • 混叠(?没懂这是啥,aliasing)

(然后这里开始说一些实际应用的场景了,应该不太重要)

  • 重建:给一个几何图形的样本,重新构建表面;

    • 这个样本可能是什么样的?有很多可能:点、点&法线、曲线密度积分…
    • 如何得到表面,也有很多种技术:基于轮廓线、基于Voronoi图、还有PDE和Radon变换
  • 上采样:通过插值提升分辨率

    • 对于图像(image):比如通过双线性,双三次插值(bilinear, bicubic interpolation)
    • 多边形网格::细分(subdivision),双边上采样(bilateral upsampling)
  • 下采样:降低分辨率,并且最好能保持形状。

    • 对于图像:最近邻域/双线性/双三次插值
    • 点云:二次采样(subsampling)——取更少的点
    • 多边形网格:迭代抽取、形状近似
  • 重采样:修改采样点的分布,以提升质量。

    • 多边形网格:保持多边形非常重要!不同的任务有不同的“质量”的概念…
    • 比如:可视化/解方程(可能对于质量的需求就不一样?)
  • 滤波:去除噪声、或者突出图像的重点特征

    • 图像:模糊化、双边滤波器(?)、边缘探测
    • 多边形网格:曲率流(?)、双边滤波器、分光滤波器
  • 压缩:通过去除冗余信息(或者几乎不重要的信息),减少存储的大小

    • 图像:1、哈夫曼编码、运行长度(run-length不懂咋翻译)——无损的!2、余弦/小波(JPEG/MPEG)——有损的
    • 几何网格:压缩与连通性(?),有很多技术
  • 形状分析:识别/理解重要的语义特征

    • 图像:计算机视觉…
    • 多边形网格:分割、对应、对称检测

Geometry ProcessingTasks: 3 Examples

细分、简化、标准化

Subdivision Surfaces 细分曲面

  • 从一个粗糙的多边形网格开始:细分每个元素,再通过局部平均,更新顶点。

  • 很多可能的规则:Catmull-Clark (四边形)、Loop (三角形)

  • 共同的问题:插值还是近似?在顶点处连续?(保持连续性很难的啦!)

Loop Subdivision 循环细分

关于这个算法更多的细节:https://blog.csdn.net/McQueen_LT/article/details/106136324

大体思路是把每个三角形分成四个,按照权重分配新的点,那么通常有一边上的新点被两个面所共享,所以就有了Loop细分的规则:按照 \((1/8,1/8,3/8,3/8)\) 的系数分配:

那么对于老的(old)顶点呢? 设这个顶点度数是 \(n\) ,给周围的(老的)点分配 \(u\) 权值,给自己分配\(1-nu\)

(“为什么叫Loop细分啊?“”Loop是人名“”草w“)

Catmull-Clark Subdivision (Regular Quad Mesh-普通四边形网格)

参考资料:https://en.wikipedia.org/wiki/Catmull–Clark_subdivision_surface

(Catmull是2019年图灵奖得主之一)

Loop细分只能解决三角形网格的细分,对于一般情况用Catmull-Clark细分

:课件上的图片总让人感觉看着像一个平面…看着让人误以为边点在边上…其实应该是空间里的图形,边点也不一定在边上)

  • 面点(face point):每个面顶点的平均值
  • 边点(edge point):一条边连接的两个面的面点 \(f_1,f_2\) ,以及两个顶点 \(v_1,v_2\),则边点 \(e=(f_1+f_2+v_1+v_2)/2\)
  • 中点(midpoint):就是正常的中点,这里就是在强调midpoint和edge point不是同一个东西
  • 原式顶点点(old "vertex" point):字面意思

对于每个原式顶点点 \(p\) ,最后更新的顶点:

\[v=\frac{\bar{f}}{n}+\frac{2\bar{m}}{n}+\frac{n-3}{n}p \]

\(\bar{f}\) 是和\(p\) 相邻的面点的均值, \(\bar m\)\(p\) 相邻的中点的均值,\(n\) 则是点 \(p\)“价”(valence)(这玩意好像就是度数degree?)。

好了,然后看课件发现,咦我边点怎么没用的样子?

好像课件确实没提,因为步骤其实是这样:

  • 1、求出面点、边点、新的顶点坐标。
  • 2、每个面的面点连接边点,每个(新的)顶点再向对应的边点连边
  • 如下图(蓝色是面点,粉色是边点,绿色是新点):

然后再回过头看课件,对于最简单的四边形网格(Regular Quad Mesh),每次做Catmull-Clark细分就只是给网格多划了几刀。然后对于一个一般的例子:

这里是8个正方形,以及2个三角形。

新加入的橙色三角形就是面点,然后在边上取中点(感觉应该是边点?)连接,以及新的结点照样计算,就连出来右边的效果。

  • Q:为什么细分之后,其他正方形也歪了?

  • A:想想很正常,\(v=\bar{f}/3+2\bar{m}/3\),因为有三角形,这时候面点已经不是正中心了,所以 \(v\) 歪一点就不奇怪了。

  • Q:细分之后有多少奇异点?(extraordinary vertices)他们的价是多少?有多少非四边形的面?

  • A:首先非四边形的面细分之后是没了(因为我们的连接方式连完之后都是四边形,除非有退化的情况?),而奇异点的个数不会变少,而每次细分后,奇异点增加的个数=细分前非四边形的面数,是不是和平面图转对偶图有异曲同工之妙。

后面提了一嘴,Catmull-Clark算法在三角形上跑的效果似乎不太好,有很多不规范的点,然后也有锯齿。

网格简化

需要去决定修改(坍缩)哪些边,进一步考虑去分析:坍缩一条边之后,会有多少几何误差?二次误差度量(quadirc error matric)

  • 对每条边,考虑:假设坍缩这条边,得到的图形,所能得到的最小误差(坍缩之后得到一个点,这个点到其他面的距离平方)是多少?每次贪心地选择误差最小的;同时坍缩掉一条边之后,会影响一些已经存在的边,所以还要去更新一些边的答案,所以说要用优先队列维护。
  • 注意:这里的贪心并不保证全局最优,只不过是根据经验来说比较优…
  • 然后这里课件上用的”二次度量误差“其实也不是严格的距离,而是说假设坍缩之后的点从 \(p\) 移动到 \(x\) ,那么到每个面的距离用点积来近似,所以就变成求 \(\sum N_i\cdot (x-p)\)的最小值。

Mesh Regularization 网格正规化

怎样的三角形算“好的”:希望内角不要太大或者太小。

更具体的情况——Delaunay空外接圆条件(没错就是前苏联的那个Delaunay):三角形圆外接圆内不包含其他顶点!

(补充:Delaunay三角剖分里,其实还有个最小角最大的条件,课件上没提)

一些其他“好的”网格的条件:顶点度数正规——最好度数是6(等边三角形的内角)

Isotropic Remeshing 各向同性网格重建

参考:https://blog.csdn.net/qq_32146369/article/details/105717778

希望让三角形在形状和大小上一致

  • 如何增加度数?把边翻转!理论上需要如果有一些点比6小,一些比6大,而实际上,遍历每条边,效果挺好的

  • 如何让三角形更圆?通过顶点的中心来改善形状——考虑顶点在表面上/表面外的移动。

算法

  • 1、超过\(4/3\) 倍平均长度的边进行分裂。
  • 2、小于\(4/5\) 倍平均长度的边进行坍缩。
  • 3、翻转边,调整度数。
  • 4、调整中心点。
posted @ 2023-10-25 00:19  yoshinow2001  阅读(228)  评论(0编辑  收藏  举报