NOI2017-游戏-2sat

NOI2017-游戏-2sat

https://www.luogu.com.cn/problem/P3825

题意：有三种赛车A，B，C，以及用字符串 $s$ 描述的地图，$s_i=a/b/c$ 表示第 $i$ 个地图不能用对应的 A/B/C 类型的赛车， $s_i=x$ 表示可以选择任意一种，并且有 $m$ 条限制，形如：若第 $i$ 场选择了 $h_i$ ，则 $j$ 场要选择 $h_j$ 。

同时保证了 $s$ 中 "x" 的出现次数是 $d$ ，$1\le |s|\le 5\times {10}^4,1\le m\le {10}^5,0\le d\le 8$.

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如果 $s$ 中只有字母 $a,b,c$ ，那么对于 $s_i=a$ ，就只能选择 B 或 C，这是二选一并且要恰好选一个的，选B和选C是一对互斥的命题，加上 $m$ 组关系形如“若 $p$ 则 $q$ ",2-sat的模型就呼之欲出了。当然这里在实现上有些细节：

• 如果 $h_i=s_i$，那么意味着若 $p$ 则 $q$ 这句话里，前提是一定不能选的（恒假），这个公式是恒真的，所以不用连边。
• 好了，那如果$h_i\ne s_i$，前提可能真可能假，那再看结论：
  • 如果$h_j=s_j$，结论恒为假，2-sat其实不太允许我们在 $x$ 和 $\mathrm{\neg }x$ 里添加第三种状态（这一点我没有严格证明过，但是一开始添加了一个叫做“恒假”的状态，wa了一片，不承认排中律的话好像会变成 3-sat 或者更困难的情况）。这种时候结论恒为假，为了保证”若 $p$ 则 $q$ “，那就一定要让 $p$ 是假的，所以就连一条$h_i\to \mathrm{\neg }{h}_i$ 的边。
  • 否则$h_j\ne s_j$，这时候就只要 $h_i\to h_j$ 以及 $\mathrm{\neg }{h}_j\to \mathrm{\neg }{h}_i$ 两条边。

好了现在有至多 $8$ 个“x”，如果暴力枚举每个 "x" 取什么，那么有 $3^8=6561$ 种状态，乘上 $O(n+m)$ 大约有 ${10}^9$，太大了（至多 $2m$ 条边和 $2n$ 个点），然后就是这题另一个小转换，"x" 取 "a" 意味着能用 B或者C，取 “b” 意味着能用A或者C，这里就包含了 A、B、C的情况了，所以只要 $2^8=256$ 地枚举就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=5e4+5;
const int M=1e5+5;
 
int n,d,m,bl[N<<1];
int a[M][2],idx[N][3],rev[N][3];
char ch[M][2],col[N<<1];
string s;
namespace SCC{
	struct edge{
		int to,nxt;
	}edges[M<<1];
	int head[N<<1],cnt;
	int low[N<<1],dfn[N<<1],dfscnt,scc;
	bool in_stack[N<<1];
 
	stack<int> S;
	void init(int _n){
		dfscnt=scc=cnt=0;
		rep(i,1,_n)low[i]=dfn[i]=head[i]=bl[i]=in_stack[i]=0;
	}
	void add(int u,int v){
		edges[++cnt]=(edge){v,head[u]};
		head[u]=cnt;
	}
	void tarjan(int x){
	    low[x]=dfn[x]=++dfscnt;
	    S.push(x);in_stack[x]=1;
	    for(int i=head[x];i;i=edges[i].nxt){
	    	int to=edges[i].to;
	        if(!dfn[to]){
	            tarjan(to);
	            low[x]=min(low[x],low[to]);
	        }else if(in_stack[to])
	            low[x]=min(low[x],dfn[to]);
	    }
	    if(low[x]==dfn[x]){
	        ++scc;
	        bool tag=0;
	        while(1){
	            bl[S.top()]=scc;
	            if(S.top()==x)tag=1;
	            in_stack[S.top()]=0;
	            S.pop();
	            if(tag)break;
	        }
	    }
	}
};
void work(){
	int mx=2*n;
	SCC::init(mx);
	rep(i,1,n){
		rep(j,0,2)idx[i][j]=rev[i][j]=-1;
		col[i]=((s[i-1]-'A'+1)%3+'A');
		col[i+n]=((s[i-1]-'A'+2)%3+'A');
 
		idx[i][col[i]-'A']	=i;
		idx[i][col[i+n]-'A']=i+n;
		
		rev[i][col[i]-'A']	=i+n;
		rev[i][col[i+n]-'A']=i;
 
	}
	rep(tc,1,m){//2*m
		int i=a[tc][0],j=a[tc][1];
		char hi=ch[tc][0],hj=ch[tc][1];
 
		if(hi!=s[i-1]){
			if(hj==s[j-1]){
				int u=idx[i][hi-'A'];
				if(u<=n)SCC::add(u,u+n);
				else SCC::add(u,u-n);
			}else{
				SCC::add(idx[i][hi-'A'],idx[j][hj-'A']);
				SCC::add(rev[j][hj-'A'],rev[i][hi-'A']);
			}
		}
	}
	
	rep(i,1,mx)if(!bl[i])SCC::tarjan(i);
	rep(i,1,n)if(bl[i]==bl[i+n])return;
	rep(i,1,n){
		if(bl[i]<bl[i+n])cout<<col[i];
		else cout<<col[i+n];
	}
	exit(0);
}
int main(){
	fastio;
	cin>>n>>d>>s>>m;
	rep(i,0,n-1)s[i]=s[i]-'a'+'A';
	rep(i,1,m)cin>>a[i][0]>>ch[i][0]>>a[i][1]>>ch[i][1];
 
	vector<int> pos;
	rep(i,0,n-1)if(s[i]=='X')pos.push_back(i);
	for(int S=0;S<(1<<d);S++){
		rep(i,0,d-1){
			if((S>>i)&1)s[pos[i]]='A';
			else s[pos[i]]='B';
		}
		work();
	}
	cout<<-1;
	return 0;
}