[HNOI2010] 平面图判定-平面图性质、带权并查集/2-sat

[HNOI2010] 平面图判定-平面图性质、带权并查集/2-sat

https://www.luogu.com.cn/problem/P3209

题意:给一张 \(n\) 个点,\(m\) 条边的哈密顿图,并且哈密顿回路已知,问是否是平面图,\(T\) 组询问。

\(1\leq T\leq 100,1\leq n\leq 200,1\leq m\leq 10^4\)


转换挺奇妙的。

极大平面图

《离散数学》这课的高光时刻来了,没想到结课之后居然还会翻课件…

首先欧拉示性数公式告诉我们,一张简单的连通的平面图,点数 \(n\),边数 \(m\) 和面数 \(f\) 有关系 \(n-m+f=2\)

如果连通分支的个数变成 \(k\) 个,则不难发现,修正后的结果是

\[n-m+f=k+1 \]

定理1.\(G\) 是连通的平面图,\(deg(R_i)\geq l\geq 3\),则 \(m\leq \frac{l}{l-2}(n-2)\),其中 \(R_i\) 表示平面图中的平面,\(deg(R_i)\) 则表示 \(R_i\) 这个平面的边数

证:有类似于握手定理的 \(2m=\sum deg(R_i)\geq l\times f\geq l(2-n+m)\),即有

\[2m\geq ml+l(2-n) \]

化简得到 \((2-l)m\geq l(2-n)\),因为 \(l\geq 3\),所以 \(m\leq \frac{l}{l-2}(n-2)\).

定理2.\(G\) 是简单平面图,且\(n\geq 3\)\(m\leq 3n-6\)

证:假设有 \(k\) 个连通分支,如果 \(G\) 是森林,则 \(m\leq n-1\leq 3n-6\)(当 \(n\geq 3\) ),否则 \(G\) 的某个连通分支有环,而简单图的环至少是三元环,因此这个子图有 \(m\leq \frac{3}{1}(n-k-1)=3(n-2)\).

并查集

所以这题虽然 \(m\) 取到了 \(10^4\) ,但其实只有 \(m\leq 3n-6<300\) 才需要判断。

  • 而对于 \(m\) 小的情况,因为哈密顿回路已经给出了,所以先把点按照其在哈密顿回路上的顺序排好。

  • 再考虑任意两条边,如果位置存在交叉的情况,那么一定是一个在内侧,一个在外侧的,就转化成了一个 2-sat 的模型。

  • 但仔细一想,这个排斥关系是相互的(即如果我们考虑2-sat的建图,就会变成:如果 \(i\to j\) 有边,那么 \(j\to i\) 也有边),所以其实是个无向图

  • 所以直接用带权并查集就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=205;
namespace DSU{
	int fa[N*3],dep[N*3],bad;
	int find(int x){
		if(fa[x]==x)return x;
		int t=dep[fa[x]];	//这里注意一下要先把压缩前的距离存下来
		fa[x]=find(fa[x]);
		dep[x]^=t;
		return fa[x];
	}
	void init(int n){
		bad=0;
		rep(i,0,n-1)fa[i]=i,dep[i]=0;
	}
	void merge(int x,int y){
		int fx=find(x),fy=find(y);
		if(fx==fy){
			if(dep[x]==dep[y])bad=1;
			return ;
		}
		fa[fy]=fx;
		dep[fy]=(dep[x]^dep[y]^1);
	}
};
int n,m,v[N],pos[N];
vector<pair<int,int>> E;
int main(){
	fastio;
	int tc;cin>>tc;
	while(tc--){
		cin>>n>>m;
		E.resize(m);
		rep(i,0,m-1)cin>>E[i].first>>E[i].second;
		m=E.size();
		rep(i,1,n)cin>>v[i];
		if(m>3*n-6)cout<<"NO"<<endl;
		else{
			rep(i,1,n)pos[v[i]]=i;
			rep(i,0,m-1){
				E[i].first=pos[E[i].first];
				E[i].second=pos[E[i].second];
				if(E[i].first>E[i].second)swap(E[i].first,E[i].second);
			}
			DSU::init(m);
			rep(i,0,m-1){
				int l=E[i].first,r=E[i].second;
				rep(j,i+1,m-1){
					int p=E[j].first,q=E[j].second;
					if((l<p&&p<r&&r<q)||(p<l&&l<q&&q<r))DSU::merge(i,j);//两种都要判
				}
			}
			if(DSU::bad)cout<<"NO"<<endl;
			else cout<<"YES"<<endl;
		}
	}
	return 0;
}
posted @ 2023-10-22 22:14  yoshinow2001  阅读(31)  评论(0编辑  收藏  举报