[杂题笔记]20210807-20210817
就先定个小目标每天写他个三题（x），但最近还是有点累，大概就还是写点简单的题（Div2里ABCD差不多，EF这种过段时间如果状态好点补上）
https://www.luogu.com.cn/problem/P2260求\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n\bmod i)(m\bmod j),(i\neq j),n,m\leq 10^9\end{aligned}\)取模的值。
取模的定义展开，拆成四项分别用除法分块处理，再扣掉\(i=j\)的部分，注意模数不是质数。
https://www.luogu.com.cn/problem/P3935
\(\begin{aligned}x=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_n^{k_n},f(x)=(k_1+1)(k_2+1)\dots(k_n+1),\end{aligned}\)求\(\sum_{i=l} ^r f(i)\).
我好铸币，\(f(x)\)对应的就是\(x\)的因数个数，然后前缀和变成\(\sum_{i=1}^n \sum_{d=1}^n [d|i]=\sum_{d=1}^n \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)，除法分块。
https://codeforces.com/problemset/problem/1557/A， 把数组排好序，最后一个单独一个集合，剩下的n-1个一个集合。考虑一个轻微的扰动，用反证法证明。
https://codeforces.com/problemset/problem/1557/B， 因为每个数都是unique的，二分求出每个数排好序之后的位置，要分割的每个子段一定是连续递增的整数。
https://codeforces.com/problemset/problem/1557/C， 数学题，\(a_1,\dots,a_n\)要让他们\(\&\)的结果不小于\(\oplus\)的结果，因为懒得考虑取等的情况，那就考虑\(a_1\&\dots\& a_n<a_1\oplus\dots \oplus a_n\)的情况，假设在第\(p\)位的地方出现左边<右边，那也就是左边的第p位是0，右边的是1，进一步\(a_{1p}\&\dots\& a_{np}=0\)，也就是第\(p\)位至少有一个0，以及\(a_{1p}\oplus \dots \oplus a_{np}=1\)，也就是有奇数个1，两个条件结合起来意味着：\(n\)是奇数时，\((a_{1p},a_{2p},\dots,a_{np})\)有\(C_n^2+C_n^4+\dots+C_n^{n-1}=2^{n-1}-1\)种，如果是偶数则是\(2^{n-1}\)种，接着对于比第\(p\)位更高的位，与运算结果要和异或一样，同样的方法分类讨论，\(n\)为奇数时每一位有\(2^{n-1}+1\)种，偶数时有\(2^{n-1}-1\)种，而对后面的位置则无所谓，最后答案就是：\(n\)为奇数时，\(2^{nk}-(2^{n-1}-1)\sum_{i=0}^{k-1}(2^{n-1}+1)^i 2^{n(k-i-1)}\)，\(n\)为偶数则是\(2^{nk}-2^{n-1}\sum_{i=0}^{k-1}(2^{n-1}-1)^i 2^{n(k-i-1)}\)种。
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/A， 暴力
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/B， 贪心地，新桌子一定在某个角落里，同时必要条件是新加的桌子要在水平/竖直的一个方向上能放得下，仔细想想这也是充分的条件，于是如果能移，那一定只在水平/竖直的一个方向上移动。
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/C， 先手会拿到一个\(a[1][1,\dots,x]\)和\(a[2][x,\dots,n]\)，后手只会拿到\(a[1][x,\dots,n]\)或者\(a[2][1,\dots,x]\)其中最大的那个，于是答案就是让这两者的最大值尽可能小。
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/D， 这题性质很特殊，只有3种字母，动手画一画会发现，一个字符串要是beautiful的（任何一个长度不小于2的子串，都不能是回文的），假设是ab开头，下一个只能是c，接着abc的再下一个只能是a，以此往复只能是abcabcabc重复的结构，\((a,b,c)\)一共6种轮换，\(O(6n)\)地暴力处理。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/A， 考虑某个已经包含\(\max_i a_i\)的区间\([l,r]\)，一旦去扩展区间，只可能让区间的\(\min\)变小，所以我们要尽可能控制区间长度，也就是只要检测长度为2的区间。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/B， 很有意思的题，给一个长度\(n\leq 10^5\)的非负整数序列，找到最大的$ij-k(a_i|a_j),k\leq \min(100,n),i\neq j,\forall i:a_i\leq n \(。和位运算其实没什么关系，重要的性质还是\)(a_i|a_j)\leq 2n\(和\)k\leq 100$这个。
接着这么分析，先考虑\(f(i,n)\)要成为答案的必要条件，取\(f(i,j)>f(n-1,n)\)得到\(in\geq ij\geq ij-k(a_i|a_j)>n^2-n-2kn,\)联系两边得到\(i>n-1-2k\)，即\(i\geq n-2k\)。同样对称地有\(j\leq n-2k\)，复杂度\(O(k^2)\)。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/C， 又是一个和位运算相关的问题，给\(n,m\)求\(n\oplus 0,\dots,n\oplus m\)的mex。
假设答案\(k\)是由\(n\)和另一个\(x>m\)异或出来的结果，即\(n\oplus x=k\)，则一定有\(x=n\oplus k>m\)，于是变成找最小的\(k\)使得\(n\oplus k >m\)，构造地考虑二进制位，从高往低考虑二进制位：①如果某个位置出现了\(n_i>m_i\)，也就是\(n_i=1,m_i=0\)的情况，那只要让后面更低的位置\(k_p\)全部取0就行，这时候的\(k\)就是答案。②否则就取\(k_i=n_i\oplus m_i\)，这样往下取至少能保证最后的\(n\oplus k=m\)，（当然一旦遇到①的话就直接大于了），如果到最后都没遇到①的情况，那就微调\(k\)的低位，也就是找到\(m\)最低位的0，让\(n\oplus k\)这一位变成1。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/D， 构造题，要构造\(s\)使得每个非空子串在\(s\)中出现奇数次，考察形如s=aa...aaa这样子的串，其长度为\(|s|-1\)的子串在里面出现奇数次，\(|s|-2\)的子串出现了偶数次，以此类推，于是就拿两个形式一样的，长度相差为1的串拼起来。
这次是有嘉然小姐的一场题！（看了眼果然是中国人出的）
https://codeforces.com/problemset/problem/1559/A， 对每个二进制数位考虑所有数，如果都是1那怎么操作都是1，否则就是0.
https://codeforces.com/problemset/problem/1559/B， 对于B?...?B和B?...?R这样的结构，只要和开头那个不一样，交错着填下去就行，特别判一下左/右一端。
https://codeforces.com/problemset/problem/1559/C， 画一下图，如果有01这种结构的出现，那就走\(1\to \dots \to i\to (n+1)\to i+1\to \dots n\)这条路线，否则一定是形如\(11\dots100\dots 00\)的结构，如果有1就从\((n+1)\)出发走一遍，否则全是0就从1开始走，最后走\(n+1\)。综上，符合条件的路径一定存在。
剩下的两题之后补上（x）
https://codeforces.com/problemset/problem/1540/A， Div1的A，题读了好久（可恶），说现在有一张有向图但是忘了长什么样，只知道1到别的点的最短距离\(d_i\geq 0\)，以及不会出现负环和重边，求所有边权之和最小值。
注意到\(1\to 2\to\dots\to n\)的这条链是一定要有的，他们边权求和是固定的\(d_n-d_1=d_n\)，那就想着怎么加负权边，只要\(i<j,d_i<d_j\)，就意味着\(d_j-d_i\)有一条正的路径，这样就可以连一条\(j\to i\)的\(d_i-d_j\)的负权边，这就启示我们把\(d[]\)升序排序之后统计\(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n(d_i-d_j)=\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)d_i-\sum_{j=2}^n (j-1)d_j\)，复杂度\(O(n\log n)\)。（可恶，Div1的A怎么这么难，2分钟过的真的是碳基生物吗（x））
