[持续更新]一些有趣的数学问题

有趣的数学题

这篇博文应该会持续更新，记录一些我在各种地方看到的有意思的数学问题/证明。

目录

• 有趣的数学题
  • 存在连续的1000个数恰好有5个素数
  • 整点正多边形
  • 1/49=0.020408163264...
  • 随机两个自然数，互质的概率
  • 一个三角级数
  • Bailey–Borwein–Plouffe formula（留坑）

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存在连续的1000个数恰好有5个素数

如何证明存在1000个连续的自然数中恰好有5个素数？

（来自知乎问题https://www.zhihu.com/question/369220695下@demo256的回答）

首先是构造连续1000个合数（也就是1000个数没有一个素数）：$1001!+2,1001!+3,\dots ,1001!+1001$，这1000个数分别被$2,3,4,\dots ,1001$整除，这算是比较经典的构造（素数的间距可以很大），接着$[1,1000]$这个区间内素数个数显然超过5个，我们考虑用一个长度是1000的窗口从$[1,1000]$一步步滑动到$[1001!+2,1001!+1001]$这个位置，每滑动一步，区间内素数的个数要么不变，要么变化为1，所以在变化过程中一定存在符合要求的区间。

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整点正多边形

如何证明整点正$n$边形只存在$n=4$的情形？

（https://www.cnblogs.com/yoshinow2001/p/14599700.html来自某次训练的题）

对于$n=3$，假设存在整点正三角形$OAB$，考虑设$\overrightarrow{AB}=(a,b)$，面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)$是无理数，而整点正三角形面积$S=i+\frac{p}{2}-1$，$i$是内部整点数，$p$是边上整点数，矛盾。

$n=4$显然存在。

而对于$n\ge 5$的情形，同样假设存在一个符合条件的最小正$n$变形$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$，考虑每个点$A_i$绕$A_{(i+1)modn}$旋转90°得到$A_i^{\prime }$，得到的$A_0^{\prime }{A}_1^{\prime }\dots A_{n-1}^{\prime }$一定也是一个整点正$n$变形，而且更小，矛盾！

$Q.E.D.$

说起来前段时间看初等数论的时候，看到里面的一段证明和这个思路有几分相似：

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1/49=0.020408163264...

（来自知乎问题：https://www.zhihu.com/question/413916805/answer/1406547844）

1/49小数点后几项正好是个等比数列，这类可以构造：如果要展开后一个长度为$k$的小数部分是首项为$a$的等比数列的项，那就是$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^i}{{10}^{ki}}=\frac{\frac{a}{{10}^k}}{1-\frac{a}{{10}^k}}=\frac{a}{{10}^k-a}\end{array}$，对应的就是这里$a=2,k=2$，算出来的小数2/98=1/49.

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随机两个自然数，互质的概率

（来自于去年暑假第一个次和队友lzx打组队的一道题）

一种是直接算$[1,n]$中互质的数的对数$=2\sum _{i=1}^n\phi (i)-1$，欧拉函数求和我们可以杜教筛，一共有$n^2$对，然后这个和式我们利用一些technique（查文献）可以知道是$\frac{3n^2}{{\pi }^2}+O(xxx)$的东西，当$n\to \mathrm{\infty }$的时候忽略后面的，就得到概率$\frac{6}{{\pi }^2}$

另一个做法是我当时查资料查到的：

考虑随机两个数$a,b$，同时被素数$p_i$整除的概率是$\frac{1}{p_i^2}$，那么不同时被$p_i$整除的概率就是$1-\frac{1}{p_i^2}$，而$a\mathrm{\perp }b$就意味着对所有素数$p_i$，都不同时被它整除，概率：

$\begin{array}{r}P=\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_i^2})=\frac{1}{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-\frac{1}{p_i^2}}}\end{array}$，而下面那个求积的式子$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p_i^{-2}}\end{array}$非常经典：

形如$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p_i^{-s}}\end{array}$的式子叫欧拉乘积公式（Euler Product Formula），里面每一项可以看成是$\begin{array}{r}\sum _{k=0}{p}_i^{-ks}=1+\frac{1}{p_i^s}+\frac{1}{p_i^{2s}}+\cdots =\frac{1}{1-p_i^{-s}}\end{array}$，所以整个求积的式子写开就是$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p_i^s}=(1+\frac{1}{p_1^s}+\frac{1}{p_1^{2s}}+\dots )(1+\frac{1}{p_2^s}+\frac{1}{p_2^{2s}}+\dots )\dots \end{array}$，质因数分解的唯一性告诉我们，每个自然数的$-s$次幂都唯一地出现在这个式子中，所以这个式子就等于$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^s}\end{array}$，也就是$\zeta (s)$。

回到我们的问题，要求的直接就是$P=\frac{1}{\zeta (2)}$，$\zeta (2)$是经典的巴塞尔问题的答案，它的结果是$\frac{{\pi }^2}{6}$，所以概率就是$\frac{6}{{\pi }^2}$。

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一个三角级数

某日晚自习在水群，看到有个大一小朋友（说的好像你自己不是大一的啊喂）问了一道题，大意是给了一个类似$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sin (\frac{\pi }{2}n)\end{array}$的式子，要判断敛散性，我：这东西好像能直接算出来…？

嗯…我想想要怎么算…目前（就是写这博客的时候）还没学太多求级数的方法，应该是最近用欧拉公式用得多了，看到这个式子的第一反应是想到用$e^x=\cos x+i\sin x$来换。

更一般地，我们应该是有办法计算$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{n}\end{array}$和$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nx)}{n}\end{array}$这两个东西的…吧？

总感觉这个形式是不是有点像什么东西…我们先把他们拼起来$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{i\sin (nx)+\cos (nx)}{n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(e^x{)}^n}{n}\end{array}$，这东西不是$-\ln (1-e^x)$的麦克劳林展开么？那就好办。

$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{n}& =-\mathrm{\Im }(1-e^x)=\arg (1-\cos x-i\sin x)\\ & =-\arctan (\frac{-\sin x}{1-\cos x})=\arctan (\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\sin }^2\frac{x}{2}})\\ & =\arctan (\cot \frac{x}{2})=\arctan (\tan (\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}))=\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\end{array}$

因为复数域上的$\ln$是个多值函数，这里要根据幅角$x$和$2\pi$的关系在结果上加减若干个$2\pi$.

以及我们用同样的方法能顺便算出$\cos$的情形：

$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nx)}{n}& =-\mathrm{\Re }(1-e^x)=-\ln \sqrt{(1-\cos x{)}^2+{\sin }^{2}x}=-\frac{1}{2}\ln (2-2\cos x)\\ & =-\frac{1}{2}\ln (4{\sin }^2\frac{x}{2})=-\ln (2\sin \frac{x}{2})\end{array}$

写了个程序跑了一下居然真的一样（大草），数学真奇妙。

（以及感谢舍友小伙伴给我的式子debug（x）

Bailey–Borwein–Plouffe formula（留坑）

之前刷知乎看到的一个东西，感觉很有意思有空想研究一下（x