[补题]2017多校D-BD-区间筛/二分+线段树
2017多校4-BD-区间筛/二分+线段树
继续单刷，场内过了BIK三题，D题本来应该也要能做的（但是读错题意了…）
B题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069，\(d(k)\)表示\(k\)的约数的个数，求\(\sum_{i=l}^{r}d(i^k)\)取模的值，\(l,r\leq 1e12,r-l\leq 10^6\)。
对质数\(p\)有\(d(p^k)=k+1\)，同时如果\(m\bot n\)，容易得到\(d(mn)=d(n)d(m)\)（因为如果\(t|m\)则\(t\not |n\)），所以最暴力的就是对每个\(i\)质因数分解\(i=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\dots,p_t^{q_t}\)，\(d(i^k)\)就是\(\prod_{i}^t(kq_i+1)\)，但是暴力对区间内每个数分解会炸，昨天组队的时候傻逼写了个Pollard-Rho也没过（x）
后来去装了个水想到的，正着做不行，就考虑每个素数的影响，\(10^6\)内的素数大约有\(\frac{10^6}{ln 10^6}\approx 7\times 10^4\)个，用每个素数\(p\)的倍数去“筛”\([l,r]\)里的数字，具体来说就是枚举每个\(p_i\)，一开始设一个\(x=\lfloor\frac{l}{p_i}\rfloor p_i\)，如果\(x\)落在\([l,r]\)内就去算这个\(x\)有多少个\(p_i\)，最后给\(x\)加上\(p_i\)，直到\(x\)超过\(r\)。
这样子总的复杂度就是\(\sum_{p\in P} \frac{r-l}{p}\)，其中\(P\)是\(1\)到\(10^6\)内所有质数的集合，分母求和就是一段区间内素数倒数求和，这篇博客：https://www.cnblogs.com/yoshinow2001/p/14610848.html里给出了它是\(O(\ln \ln n)\)的复杂度。
void upd(ll &x,ll t){x=(x*(t*k+1))%MOD;}
for(ll i=l;i<=r;++i)Q[i-l]=1,x[i-l]=i;
rep(i,1,cnt){
if(pri[i]>r)break;
ll p=l/pri[i]*pri[i];
while(p<=r){
if(l<=p&&p<=r){
ll t=0;
while(x[p-l]%pri[i]==0){
x[p-l]/=pri[i];
t++;
}
upd(Q[p-l],t);
}
p+=pri[i];
}
}
for(ll i=l;i<=r;++i)if(x[i-l]>1)upd(Q[i-l],1);
D题：给一个序列，求\(\begin{aligned}\frac{cnt[l,r]}{r-l+1}\end{aligned}\)的最小值，\(n\leq 6\times 10^4\)。
一开始读错题意了，GG，读对题意后会想到一个叫做01分数规划的东西，考虑二分，对于当前的一个\(m\)，固定一个端点，比如说是\(r\)，就只要check是否存在\(l:cnt[l,r]-ml\leq m(r+1)\)，也就是找\(cnt[l,r]-ml\)的最小值，如果对每个\(r\)都暴力查一遍复杂度肯定炸了，但每次查询的区间\([1,1],[1,2],\dots,[1,n]\)是逐渐变大的，我们就考虑一边修改一边查询前缀的最小值，每次\(l+1\)相当于在\(l\)这个位置加上一个\(-ml\)，cnt的影响则是一整段区间：我们新加了一个数\(a_i\)，他会对\([last[a_i]+1,i]\)的部分的cnt有1的贡献，于是这是一个区间加，就用线段树解决啦。
