[学习笔记]Cantor展开/CF501D

Cantor展开

这是大概半年前学到的trick，今天突然想起来就来复习一下。

我们知道对于$n$个数$1,2,\dots ,n$的排列一共有$n!$个，同时我们很容易定义两个不同排列$p_1,p_2$的大小关系——按字典序比较就行，于是我们很自然地会发现，对于任意一个排列$P=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$，应该是能够和自然数建立一一对应的关系的——依靠这个排列在所有排列里字典序的排名。

Cantor展开就是做这件事情，我们定义最小的排列$1,2,3,4,5$的排名是0，接着往下$1,2,3,5,4$的排名就是1，Cantor展开的值也就是1。

举个栗子

对于任意一个排列$P$我们也容易算出他的排名：

以$4,3,5,1,2$为例，第一个元素是$4$意味着以$1,2,3$为开头的排列的排名都一定比他小，这样的排列有$3\times 4!$个，同样，如果定下第一个元素是4，对于前两个元素是$(4,3)$，意味着$(4,1),(4,2)$为开头的排列的排名比他小，这样的排列有$2\times 3!$个，以此类推，定下前两个元素，对于前三个元素是$(4,3,5)$的排列，意味着以$(4,3,1),(4,3,2)$为开头的元素排名比他小，这样的排列又有$2\times 2!$个，接着就是$(4,3,5,1)$为开头，以$(4,3,5)$为开头的排列没有比他小的，所以最后比当前排列小的排列的个数就是：$3\times 4!+2\times 3!+2\times 2!=88$个，这也就是这个排列的排名/Cantor展开的值。

实现

容易发现，一个排列$P=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$的Cantor展开$\begin{array}{r}X=\sum _{i=1}^n{a}_i(n-i)!\end{array}$，其中$a_i$表示有多少个$t$使得$(p_1,\dots ,p_{i-1},t)>(p_1,\dots ,p_i)$这个排列比原排列$P$来的大，因为前面用过的已经不能用了，所以这个$t$的个数其实就是在$p_{i+1},\dots ,p_n$里比$p_i$小的数的个数，这可以用一个树状数组来维护，于是求一个排列Cantor展开的系数就可以做到$O(n\log n)$的复杂度啦。

一些事项

Cantor展开其实是一个变进制数，在一些地方似乎能用得上（好像有见过）。

Cantor展开的值虽然很大，不过感觉更多时候是算系数来解决一些问题。

逆过程

都说是一一对应关系，那一个自然数也应该要能映射回去对吧？首先一个具体的数字转换成$n$个系数的表达方式很好做：按照上面的定义，很明显有$a_i\le n-i$，对于$t=0,1,\dots ,k-1$，有$k!>t(k-1)!$，所以如果我们只有一个$X,n$，每次求$a_i$的时候，$a_i=X/(n-i)!$，再用$Xmod(n-i)!$来更新$X$就行。

接下来就是要怎么通过系数求出具体的排列了，依然用前面的栗子，$(4,3,5,1,2)$生成的Cantor展开的系数应该是$(3,2,2,0,0)$，第一个3意味着$\{1,2,3,4,5\}$里有3个比第一个元素小的，那么第一个元素就是4，接着我们定下来4，再从$\{1,2,3,5\}$里选排名=2+1=3的3，第二个元素就是3，接着往下，从$\{1,2,5\}$里选排名第三小的，也就是5，接着是$\{1,2\}$里选排名第0+1=1的1…

一个比较简单的实现就还是一个树状数组：值域树状数组，一开始全部设为1，每次二分找到最小的前缀和超过$a_i$的位置，就是这个位置上的答案啦，这样做是$O(n{\log }^{2}n)$的，如果要优化掉这个$\log$那就是直接在线段树上二分啦。

CF501D

给两个排列$p,q$，$Ord(p)$表示一个排列$p$的排名，求排名为$(Ord(p)+Ord(q))mod(n!)$的排列。

就是一个裸的Cantor展开啦：

rep(i,1,n)modify(i,1);
rep(i,1,n){
    f[i]=query(a[i]);
    modify(a[i]+1,-1);
}
rep(i,1,n)modify(i,1);
rep(i,1,n){
    f[i]+=query(b[i]);
    modify(b[i]+1,-1);
}
 
for(int i=n;i>=1;i--)if(f[i]>n-i){
    f[i-1]++;
    f[i]%=n-i+1;
}
 
rep(i,1,n)modify(i,1);
rep(i,1,n){
    int l=1,r=n,ret=-1;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        int q=query(mid);
        if(q<f[i]+1)l=mid+1;
        else{
            r=mid-1;
            ret=mid;
        }
    }
    modify(ret,-1);
    printf("%d ",ret-1);
}