[日常摸鱼]一些素数筛法（暴力筛/埃氏筛/欧拉筛）与复杂度证明

昨天晚上突然发现不会证埃氏筛的复杂度，去研究了一下就有了这篇博客。

首先最朴素的筛法，对每个\(i=1,\dots,n\)，再枚举一个\(j=1,\dots,\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，去筛掉\(i*j\)，这样是一个\(O(n\log n)\)的复杂度。

接着是埃氏筛，每次只对素数\(i\)，把\(i\times pri[j]\)筛一遍，复杂度于是\(\begin{aligned}\sum_{1\leq p\leq n (p\in prime)} \frac{1}{p}\end{aligned}\)，级别的，可以证明这个式子是\(O(n\log \log n)\)的：

设\(f(x)\)是一个在\([l,r]\)连续可微的函数，\(A(n)=\sum_{i\leq n}a_i\)，类似分部积分的操作，\(A_{i}f_{i}-A_{i-1}f_{i-1}=(A_i-A_{i-1})f_i+A_{i-1}(f_{i}-f_{i-1})=a_{i}f_i+A_{i-1}(f_{i}-f_{i-1})\)，两边求和得到：\(\begin{aligned}A_rf_r-A_l f_l=\sum_{i=l+1}^ra_if_i+\sum_{i=l+1}^r A_{i-1}(f_i-f_{i-1})\end{aligned}\)。

为了方便，后面那个\(\sum\)经常还能换成积分：\(=\begin{aligned}\sum_{i=l+1}^r A_i \int_{i-1}^{i}f'(t)dt=\int_l^r A_t f'(t)dt\end{aligned}\)，于是有：\(\begin{aligned}\sum_{i=l+1}^r a_i f_i=A_r f_r-A_l f_l -\int_l^r A_t f'(t)dt\end{aligned}\)，接着在这里，我们令\(a_i\)表示\(i\)是不是素数（是的话为1，否则为0），于是\(A(n)=\pi(n)\)，再取\(f_i=\frac{1}{i}\)，取\(l=2\)开始求和，就得到了素数倒数和\(\begin{aligned}\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}=\frac{\pi(n)}{n}+\int_2^n\frac{\pi(t)}{t^2}dt\end{aligned}\)，接着我们近似地用\(\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}\)来算积分，就得到了\(O(n\log \log n)\)这个结果啦

而欧拉筛则是考虑对每个数\(i\)枚举比他小素数\(j\)，把\(i\times j\)筛掉，与此同时，一旦发现\(j|i\)就结束这一轮\(j\)的枚举，这样就能保证每个数字最多只被筛一次，复杂度是严格的\(O(n)\)的。

同时我们说这种方法能用来筛一些像是莫比乌斯函数/欧拉函数这样的积性函数（即\(n,m\)互质时，符合\(f(nm)=f(n)f(m)\)的一类函数）。