[日常摸鱼]整点正多边形，HDU6055，Pick公式，证明

2017多校2

这场签完到有事情就跑了，感觉K题很有意思，记个K题。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6055

给\(n(n\leq 500)\)个整点，坐标绝对值\(\leq 100\)，问能够形成多少个正多边形。

稍微想一下会发现，好像只有正方形可以成为整点多边形，于是\(O(n)\)枚举正方形的左上角，\(200*200\)地枚举另一个点，就过了。

嗯…不过为什么只有正方形可以？看起来很显然，能证明吗。

Pick公式

整点多边形面积\(A=i+\frac{p}{2}-1\),\(i\)是多边形内的整点个数，\(p\)是边上的整点个数。证明可以考虑数学归纳法（从\(n\)变形拓展到\(n+1\)变形）。

正三角形

整点正三角形一定不存在：Pick公式告诉我们整点多边形面积一定是有理数（而且\(2A\)一定是整数），而如果考虑三角形\(ABC\)的一条边\(\vec{AB}=(a,b)\)，三角形面积\(A=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)\)是无理数，矛盾。

从正五边形到正n边形

（参考程汉波《一次“整点正多边形”的探究之旅》）

假设存在一个最小的整点正五边形\(ABCDE\)（顺时针方向），内角是\(108°>90°\)，考虑\(A\)绕\(B\)逆时针旋转\(\pi/2\)得到\(A'\)点，则\(A'\)一定是整点且在五边形\(ABCDE\)内部，同理对\(B,C,D,E\)进行同样的操作，得到的\(A'B'C'D'E'\)一定也是一个整点正五边形，而它的面积比\(ABCDE\)跟小，矛盾，故不存在"最小整点正五边形"。

接着会发现这种操作套到任意\(n(n\leq 5)\)边形都能用，于是就证完啦…

数学真是妙啊（