[日常摸鱼]一些DP题（2）各种背包——01背包/二维背包/背包前K优解
https://codeforces.com/problemset/problem/19/B
Bob拿着\(n\)件商品在收银台付款，扫描第\(i\)件商品需要\(t_i\)的时间，第\(i\)件的价格为\(c_i\)，在扫描的时候可以选择偷走一些商品，偷走一个商品需要1个单位的时间，问最少花多少钱能获得所有商品。\(n\leq 2000,t_i\leq 2000\)
相当于把商品划分成两个集合\(S,T\)，满足\(|T|\leq \sum_{S}t_i\)，使得\(\sum_{S}c_i\)最小，左边的式子稍微变形会得到\(\sum_{T}t_i+|T|=\sum_{T}(t_i+1)\leq \sum t_i\)，这就很像背包了：反着考虑获得哪些物品不要花钱，总容量为\(\sum t_i\)，选择一件物品不花钱得到的代价是\(t_i+1\)，这样一个01背包问题，但是复杂度会达到\(O(nt^2)=O(n^3)\)，接受不了。
不过顺着这个背包的思路继续想，选择花钱买一件物品相当于多获得一个\(t_i+1\)的体积，对应的付出\(c_i\)的代价，最终目标是获得所有物品，即\(\sum_{S}t_i+1\geq n\)，于是又是一个背包：选择花钱购买一些物品，使得这些物品的体积之和超过\(n\)，求最小的代价。同样的问题又来了，这样做背包的体积上界是多少？如果还是\(O(n^2)\)级别的话这个优化就没什么用了：仔细想一下上界不会很大，在一系列决策之后如果当前的\(\sum t_i+\)已经超过了\(n\)，那后面的一定不会继续选择购买，所以最大的情况一定是从一个小于\(n\)的体积跨越到一个大于\(n\)的体积，对应的上界就是\(n-1+(v_{max}+1)=n+v_{max}\)了。
https://www.luogu.com.cn/problem/P4141
背包问题变形，\(n\)个物品，需要回答如果没有第\(i\)个物品的时候，恰好装满容量为\(x=1,\dots m\)的背包需要多少代价？\(n,m\leq 2000\)。
原问题是\(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-v[i]]\)和\(dp[0][0]=1\)，暴力做是直接\(O(n^2m)\)的，先处理处没有第一个物品的答案，然后考虑如何给dp删除一个物品和添加物品。
按照滚动数组得到的dp数组考虑，注意到物品顺序不影响答案，假设当前得到的是\(f[0,\dots,m]\)，删去物品\(i\)之后的答案是\(g[1,\dots,m]\)，则有当\(j<v[i]\)时，\(f[j]=g[j]\)，当\(j\geq v[i]\)时\(f[j]=g[j]+g[j-v[i]]\)，于是就能从小到大反推出\(g[]\)，这样每一次只需要\(O(m)\)的代价计算删除和加入一个物品的答案。
rep(i,2,n){
rep(j,0,w[i]-1)g[j]=f[j];
rep(j,w[i],m)g[j]=(f[j]-g[j-w[i]]+10)%10;
rep(j,0,m)f[j]=g[j];
for(int j=m;j>=w[i-1];j--)upd(f[j],f[j-w[i-1]]);
rep(j,1,m)printf("%c",f[j]+'0');
puts("");
}
https://www.luogu.com.cn/problem/P1877
01背包变形，\(dp[i][j]\)有\(dp[i-1][j-c[i]]\)和\(dp[i-1][j+c[i]]\)两个转移。
https://www.luogu.com.cn/problem/P1509
二维背包变形，两个代价（rmb和rp）以及两个收益（在泡到最多MM的前提下时间最小），可以考虑两个dp数组，在MM最多的前提下再比较第二维，或者像我在实现的时候直接开个struct来存dp，重载一个比较函数。
https://www.luogu.com.cn/problem/P3985
二维背包变形，一开始理解错题意，以为是DP的时候多带一个极差\(\leq3\)的限制，后面发现原来是给的数据保证极差\(\leq 3\)，那就好做了，考虑最后选择的物品的集合是\(S\)，最后要\(\sum_{i\in S} v_i\leq W\)，取\(X=\min_i(v_i)\)，式子变成\(X|S|+\sum_{i\in S}(v_i-X)\leq W\)，考虑个双重限制的背包：一个是\(v_i\in{0,1,2,3}\)，和第二维代价：每选一个物品代价是1，先对这个二维背包进行DP，然后再统计符合条件的答案。
https://www.luogu.com.cn/problem/P1455
并查集维护连通块，然后直接对每一个联通块01背包
https://www.luogu.com.cn/problem/P1858
\(K\)个人，每个人有一个背包，容量都是\(V\)，\(N\)件物品，现在要每个人都能恰好装满背包，并且任意两个人选的物品不完全相同，所有人价值之和的最大\(K\leq 50,V\leq 5000,N\leq 200\)。
发现相当于在求一个01背包要求完全装满的前\(K\)大值，前\(K\)大的处理一般是把普通的DP式子转化成一个单调队列来维护，转移变成\(O(k)\)地归并状态。
rep(i,1,n)per(j,V,v[i]){
tmp.clear();
for(auto itr:f[j])tmp.pb(itr);
f[j].clear();
int p=0,q=0;
while((p<tmp.size()||q<f[j-v[i]].size())&&(p+q<=k)){
int sp=tmp.size(),sq=f[j-v[i]].size();
if(q>=sq||(p<sp&&q<sq&&tmp[p]>w[i]+f[j-v[i]][q]))f[j].pb(tmp[p++]);
else f[j].pb(w[i]+f[j-v[i]][q++]);
}
}
