[日常摸鱼]一些DP题（2）各种背包——01背包/二维背包/背包前K优解

https://codeforces.com/problemset/problem/19/B

Bob拿着$n$件商品在收银台付款，扫描第$i$件商品需要$t_i$的时间，第$i$件的价格为$c_i$，在扫描的时候可以选择偷走一些商品，偷走一个商品需要1个单位的时间，问最少花多少钱能获得所有商品。$n\le 2000,t_i\le 2000$

相当于把商品划分成两个集合$S,T$，满足$|T|\le \sum _S{t}_i$，使得$\sum _S{c}_i$最小，左边的式子稍微变形会得到$\sum _T{t}_i+|T|=\sum _T(t_i+1)\le \sum t_i$，这就很像背包了：反着考虑获得哪些物品不要花钱，总容量为$\sum t_i$，选择一件物品不花钱得到的代价是$t_i+1$，这样一个01背包问题，但是复杂度会达到$O(n{t}^2)=O(n^3)$，接受不了。

不过顺着这个背包的思路继续想，选择花钱买一件物品相当于多获得一个$t_i+1$的体积，对应的付出$c_i$的代价，最终目标是获得所有物品，即$\sum _S{t}_i+1\ge n$，于是又是一个背包：选择花钱购买一些物品，使得这些物品的体积之和超过$n$，求最小的代价。同样的问题又来了，这样做背包的体积上界是多少？如果还是$O(n^2)$级别的话这个优化就没什么用了：仔细想一下上界不会很大，在一系列决策之后如果当前的$\sum t_i+$已经超过了$n$，那后面的一定不会继续选择购买，所以最大的情况一定是从一个小于$n$的体积跨越到一个大于$n$的体积，对应的上界就是$n-1+(v_{max}+1)=n+v_{max}$了。

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https://www.luogu.com.cn/problem/P4141

背包问题变形，$n$个物品，需要回答如果没有第$i$个物品的时候，恰好装满容量为$x=1,\dots m$的背包需要多少代价？$n,m\le 2000$。

原问题是$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-v[i]]$和$dp[0][0]=1$，暴力做是直接$O(n^{2}m)$的，先处理处没有第一个物品的答案，然后考虑如何给dp删除一个物品和添加物品。

按照滚动数组得到的dp数组考虑，注意到物品顺序不影响答案，假设当前得到的是$f[0,\dots ,m]$，删去物品$i$之后的答案是$g[1,\dots ,m]$，则有当$j<v[i]$时，$f[j]=g[j]$，当$j\ge v[i]$时$f[j]=g[j]+g[j-v[i]]$，于是就能从小到大反推出$g[]$，这样每一次只需要$O(m)$的代价计算删除和加入一个物品的答案。

rep(i,2,n){ 
    rep(j,0,w[i]-1)g[j]=f[j];
    rep(j,w[i],m)g[j]=(f[j]-g[j-w[i]]+10)%10;
 
    rep(j,0,m)f[j]=g[j];
    for(int j=m;j>=w[i-1];j--)upd(f[j],f[j-w[i-1]]);
    rep(j,1,m)printf("%c",f[j]+'0');
    puts("");
}

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https://www.luogu.com.cn/problem/P1877

01背包变形，$dp[i][j]$有$dp[i-1][j-c[i]]$和$dp[i-1][j+c[i]]$两个转移。

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https://www.luogu.com.cn/problem/P1509

二维背包变形，两个代价（rmb和rp）以及两个收益（在泡到最多MM的前提下时间最小），可以考虑两个dp数组，在MM最多的前提下再比较第二维，或者像我在实现的时候直接开个struct来存dp，重载一个比较函数。

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https://www.luogu.com.cn/problem/P3985

二维背包变形，一开始理解错题意，以为是DP的时候多带一个极差$\le 3$的限制，后面发现原来是给的数据保证极差$\le 3$，那就好做了，考虑最后选择的物品的集合是$S$，最后要$\sum _{i\in S}{v}_i\le W$，取$X=\underset{i}{min}(v_i)$，式子变成$X|S|+\sum _{i\in S}(v_i-X)\le W$，考虑个双重限制的背包：一个是$v_i\in 0,1,2,3$，和第二维代价：每选一个物品代价是1，先对这个二维背包进行DP，然后再统计符合条件的答案。

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https://www.luogu.com.cn/problem/P1455

并查集维护连通块，然后直接对每一个联通块01背包

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https://www.luogu.com.cn/problem/P1858

$K$个人，每个人有一个背包，容量都是$V$，$N$件物品，现在要每个人都能恰好装满背包，并且任意两个人选的物品不完全相同，所有人价值之和的最大$K\le 50,V\le 5000,N\le 200$。

发现相当于在求一个01背包要求完全装满的前$K$大值，前$K$大的处理一般是把普通的DP式子转化成一个单调队列来维护，转移变成$O(k)$地归并状态。

rep(i,1,n)per(j,V,v[i]){
	tmp.clear();
	for(auto itr:f[j])tmp.pb(itr);
	f[j].clear();
 
    int p=0,q=0;
    while((p<tmp.size()||q<f[j-v[i]].size())&&(p+q<=k)){
        int sp=tmp.size(),sq=f[j-v[i]].size();
        if(q>=sq||(p<sp&&q<sq&&tmp[p]>w[i]+f[j-v[i]][q]))f[j].pb(tmp[p++]);
        else f[j].pb(w[i]+f[j-v[i]][q++]);
    }
}