[学习笔记]进阶指南day2-再探汉诺塔问题

大概是一些口胡，参考了不少Wikipedia上的资料，这里也只是记录了自己看的一部分东西，实际上关于汉诺塔的变形似乎远不止这么多。

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先回顾原始版本的Hanoi问题的做法，ABC三个柱子，我们记为\((n,A,B,C)\)，要把圆盘全部从A柱移到C柱，最后的盘子一定要移，所以不难给出方案：先把\(n-1\)个盘子移到B，转化成了子问题\((n-1,A,C,B)\)，再通过一步将\(n\)这个盘子移到\(C\)，最后再来一次\((n-1,B,C,A)\)。如果要问方案数，那就有\(T(n)=2T(n-1)+1\)，以及\(T(1)=1\)，容易求得\(T(n)=2^n -1\)。

不过这里值得一提另一种考虑的方式：考虑用一个\(n\)元组表示每个盘子的位置，例如\((a,a,c)\)就表示最小和次小的盘子在A柱，最大的盘子在C柱。初始状态是\((a,a,\dots,a)\)，最终状态是\((c,c,\dots,c)\)，每个状态作为一个结点，可以一步到达的两个状态连一条边，

就会得到形如这样子的图（图源Wikipedia），容易发现其中的分形结构（没错这是一个谢尔宾斯基三角形），然后似乎就可以用这张图来搞一些事情…

比如一些简单的变形：每次只能在\((A,B)\)或者\((B,C)\)之间移动，全部移到\(C\)。这样相当于删去了一些边：图中一共有\(3^n\)个结点（容易证明，原来规则下每个盘子可以到达任意的位置），3个点度数为2，\(3^n -3\)个点度数为3，总边数是\(\frac{3}{2}(3^n -1)\)条，加了这条限制之后相当于少了\(1/3\)的边（少掉了所有ac之间的边），最后得到一个\(|V|=3^n, |E|=3^n-1\)的图，同时也能保证这张图联通（考虑原本的一个\(k\)阶谢尔宾斯基三角形由3个\(k-1\)阶的小三角形和三条边组成，三条边删去一条边依然联通），于是最后得到的一定是一个\(3^n\)个点的链，咕最小步数是\(3^n\)。

以及书上提到的一个变形：改成任意\(r\)个塔，\(n\)个盘的情形。塔的增加给我们的操作留了更多的余地，记对应的最小步数为\(T(n,r)\)，这里的递归就不再只是考虑最后一个盘子放到第\(r\)个塔上了：因为对于\(r=3\)的时候我们只能这么做，而在这里可以考虑先把\(1,2,\dots,k\)这些盘移动到一个辅助的塔\(X\)上，再处理剩下的\(k+1,\dots,n\)这些盘，这里一定不能移到\(X\)，也就是只有\(r-1\)个塔可以用，于是对应的方案是\(2T(k,r)+T(n-k,r-1)\)，对应的答案\(\begin{aligned}T(n,r)=\min_{k=1,\dots,n-1}\{2T(k,r)+T(n-k,r-1)\}\end{aligned}\)