ex06 汉诺塔2 非递归解法

解法示意

• 需借助二进制
• 不妨以四层塔为例走一个
• 我把左、中、右三根柱子依次称为 A, B, C
• 金片默认都在 A 塔
• n 片金片从小到大依次编号为 0, 1, 2, ... n-1
• 设初始值为 0000₍₂₎
• 按 8, 4, 2, 1 称呼二进制的各位，对应关系如下图所示

step1

• 开始累加，每次加一
• 0000₍₂₎ => 0001₍₂₎
• 因为1位由 0 变 1，所以将 0 号金片右移，即将 0 号金片由 A 移至 B
• 补充：若要将 C 上的金片右移，则移至 A，因为三个塔是循环的

step2

• 0001₍₂₎ => 0010₍₂₎
• 产生进位，进到哪位，就移动该位对应的金片
• 因为进位至2位，所以将 1 号金片右移
• 因为 1 号金片不能放到 B，所以继续向右走，C 正好符合要求

step3

• 0010₍₂₎ => 0011₍₂₎
• 因为1位由 0 变 1，所以将 0 号金片右移，即将 0 号金片由 B 移至 C

step4

• 0011₍₂₎ => 0100₍₂₎
• 产生进位，因为进至4位，所以将 2 号金片右移

step5

• 0100₍₂₎ => 0101₍₂₎
• 因为1位由 0 变 1，所以将 0 号金片右移，即将 0 号金片由 C 移至 A

• 按这个方法进行下去，当数字变成 1111 时，A 塔的四片金片就都在 C 塔上了

说明

关于结果

• 此“二进制”方法可行，但奇数金片与偶数金片在结果上有些许不同
  • 若金片总数为奇数，最终会移至 B 塔
  • 若金片总数为偶数，最终会移至 C 塔
• 使用高数中“轮换对称性”，在遇到奇数金片时，把原来的 B 塔看成 C 塔，把原来的 C 塔看成 B 塔

两个规律

• 规律一
  • 因为每走一步，数值加一，所以该二进制数即为步数
  • 该二进制数末尾 0 的个数对应要移动的金片
    • 没有 0，即为 0 个 0，对应 0 号金片；可回顾图 0001, 0011, 0101
    • 1 个 0，对应 1 号金片；可回顾图 0010
    • 2 个 0，对应 2 号金片；可回顾图 0100
    • 依此类推
• 规律二
  • 编号为 0, 2, 4, ... 的金片，总是进行右移操作
  • 编号为 1, 3, 5, ... 的金片，总是进行左移操作
    • 因为只有三根柱子，所以右移 2 格就是左移 1 格

移动次数

• 按递归的思路，汉诺塔可分成三大步

  1. 将 A 上 n-1 片金片移至 B
  2. 将 A 剩余的 1 片金片移至 C
  3. 将 B 的 n-1 片金片移至 C

• 设 f(n) 为 n 片金片完成移动需要的最少次数，则 f(n) = f(n-1) + 1 + f(n-1)，即 f(n) = 2f(n-1) + 1

  • 若只有 1 片金片，则 f(1) = 1
  • 若有 2 片金片，则 f(2) = 3
  • 若有 3 片金片，则 f(3) = 7
  • 照此规律，可假设 f(n) = 2^n - 1

• 可以用“第一类数学归纳法”证明 f(n) = 2^n - 1

  • 当 n = 1 时，f(1) = 2^1 - 1 = 1，成立
  • 当 n = k 时，设 f(k) = 2^k - 1 成立
  • => 当 n = k + 1 时，f(k+1) = 2f(k) + 1 = 2 * (2^k - 1) + 1 = 2^(k+1) - 1，满足假设
  • => 汉诺塔的移动次数为 f(n) = 2^n - 1，证毕

代码

def hanoi(n):
    cols = ['A', 'B', 'C'] if n % 2 == 0 else ['A', 'C', 'B']
    golds = [0] * n  # golds[idx] == tower_idx
    for step in range(1, 2 ** n):
        idx = len(bin(step & -step)) - 3  # lowbit 转二进制，开头是 0b1
        old_tower = cols[golds[idx]]
        golds[idx] = (golds[idx] + 1 + idx % 2) % 3  # 奇数比偶数多走一步
        print(f"step{step}: 将{idx}号金片从{old_tower}移到{cols[golds[idx]]}")