堆排序（改进的简单选择排序）

　　在介绍堆排序之前，先介绍一下堆这种数据结构：

　　堆是一颗完全二叉树，且具有如下性质，每个结点的值都大于等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；每个结点的值都小于等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

　　我们以大顶堆为例来介绍堆排序，且采用顺序存储结构（物理结构）数组来存储堆的层序遍历结果。

　　堆排序的基本思想：将待排序的n个记录构造成一个大顶堆，将根结点与堆数组的倒数第一个元素交换位置，得到最大值；将剩余的（n-1）个记录调整为大顶堆，将根结点与堆数组的倒数第二个元素交换位置，得到次最大值；如此反复执行，最终可以将一个顺序表排为有序表。

　　以顺序表L = {3，1，5，9，8}为例，length = 5，下标从1开始。

　　堆排序的步骤：（1）对于顺序表L，调用调整堆算法将其构建为一个大顶堆；

　　　　　　　　　（2）输出堆顶记录以后，调用调整堆算法将剩余记录调整为一个大顶堆，如此反复执行。

　　堆排序代码如下所示：

 1 //堆排序算法
 2 //将待排序的序列构造成一个大顶堆
 3 //将大顶堆的根结点与堆末尾元素交换（层序遍历的最后一个结点）
 4 //将剩余的序列重新调整为一个大顶堆
 5 //将大顶堆的根结点与堆末尾元素交换
 6 //如此反复执行
 7 void HeapSort(SqList* L)
 8 {
 9     int i,j;
10 
11     //结点i = 1... （length / 2）;都是有孩子的结点
12     //构造大顶堆的过程，就是将每个非叶子结点当作根结点，将其和其子树调整为大顶堆的过程
13     //叶子结点均满足堆的定义
14     for (i = L->length / 2; i > 0; i--)//将L中的记录构造成一个大顶堆
15         HeapAdjust(L, i, L->length);//调用调整堆算法
16 
17     for (j = L->length; j > 1; j--)
18     {
19         //将堆顶记录和堆尾记录交换位置
20         swap(L, 1, j);
21 
22         //将剩余的序列重新调整为一个大顶堆
23         //除了根结点以外，均满足堆的定义，符合调用调整堆算法的条件
24         HeapAdjust(L, 1, j - 1);
25     }
26 }

　　顺序表中的记录变化如下：

　　其实，堆排序的原理还是很简单明朗的，重点在于如何对堆进行调整。在调整堆算法中，要求待调整的完全二叉树除了根结点以外，其余部分均满足堆的性质。在调用调整堆算法构建堆的过程中，对于一棵完全二叉树，只有叶子节点一定满足堆的定义，其他子树不一定满足，所以我们选择从层序遍历中序号最大的且有孩子结点的结点开始，依次调用调整堆算法，直到到达完全二叉树的根结点，最终，将一个顺序表构建成一个大顶堆。总而言之，构建大顶堆的过程，就是从下往上，由右至左，将每个非叶子节点当作根结点，将其和其子树调整成大顶堆的过程。

　　调整堆代码如下所示：

 1 //调整堆算法
 2 //L中的记录除L->r[s]（根结点）外均满足堆的定义
 3 //调整L->r[s]的位置，使L->r[s,...m]成为一个大顶堆
 4 void HeapAdjust(SqList* L, int s, int m)
 5 {
 6     //temp当作中间变量，存储根结点的值
 7     int temp, j;
 8     temp = L->r[s];//temp初始化为根结点的值
 9 
10     //结点j为结点（2*j）和结点（2*j+1）的双亲
11     //第x次for循环找出当前根结点的孩子结点的最大值，并赋值给当前根结点
12     for (j = 2 * s; j <= m; j *= 2)
13     {
14 
15         //j < m说明还未到达最后一个结点
16         //若j <= m ，则r[j + 1]超出了索引范围
17         //L->r[j] < L->r[j + 1]表示沿着关键字较大的结点的方向向下筛选
18         if (j < m && L->r[j] < L->r[j + 1])
19             ++j;//j为关键字较大的结点的下标
20 
21         if (temp >= L->r[j])//根节点的值大于等于其孩子结点的最大值
22             break;//跳出for循环
23 
24         //当前根节点的值小于其孩子结点的最大值
25         L->r[s] = L->r[j];//当前根结点的孩子结点的最大值赋值给当前根结点
26 
27         s = j;//关键字最大的孩子结点当作新的根结点
28     }
29 
30     //将原来的根结点放在了正确的位置
31     L->r[s] = temp;
32 }

　　我们以调用调整堆算法构建堆的过程为例，来说明调整堆代码的实现流程，顺序表中的记录变化如下：

　　注意，红色虚线框内的部分为需要调整为堆的完全二叉树。如上图所示，为for循环条件不满足导致for循环结束的情况，与上述例子相同；为了说明另一种for循环结束的情况（break导致），我们以顺序表L = {8，1，5，9，3}为例，并做了图示说明。

封狼居胥

堆排序（改进的简单选择排序）

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