【Java】 剑指offer(9) 斐波那契数列及青蛙跳台阶问题
本文参考自《剑指offer》一书，代码采用Java语言。
题目
写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。
思路
如果直接写递归函数，由于会出现很多重复计算，效率非常底，不采用。
要避免重复计算，采用从下往上计算，可以把计算过了的保存起来，下次要计算时就不必重复计算了：先由f(0)和f(1)计算f(2)，再由f(1)和f(2)计算f(3)……以此类推就行了，计算第n个时，只要保存第n-1和第n-2项就可以了。
测试用例
1.功能测试（3，5，8等）
2.边界值测试（0，1，2等）
3.性能测试（50，100等）
4.特殊（负数）
完整Java代码
（含测试代码）
/**
*
* @Description 斐波那契数列
*
* @author yongh
* @date 2018年9月13日 下午7:19:36
*/
// 题目：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。
public class Fibonacci {
public long Fib(long n) {
if(n<0)
throw new RuntimeException("下标错误，应从0开始！");
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
long prePre = 0;
long pre = 1;
long result = 1;
for (long i = 2; i <= n; i++) {
result = prePre + pre;
prePre = pre;
pre = result;
}
return result;
}
//附：缩略版（考虑到代码的可读性，其实还是上面的方法比较好）
public long Fib2(long n) {
if(n<0)
throw new RuntimeException("下标错误，应从0开始！");
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
long pre = 0;
long result = 1;
for (long i = 2; i <= n; i++) {
result += pre;
pre = result - pre;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
Fibonacci demo = new Fibonacci();
System.out.println(demo.Fib(0));
System.out.println(demo.Fib(1));
System.out.println(demo.Fib(2));
System.out.println(demo.Fib(8));
System.out.println(demo.Fib(50));
System.out.println(demo.Fib(100));
System.out.println(demo.Fib(-5));
}
}
0 1 1 21 12586269025 3736710778780434371 Exception in thread "main" java.lang.RuntimeException: 下标错误，应从0开始！
时间复杂度：O(n)
拓展
时间复杂度为O(longn)的解法
斐波那契数列有以下公式（可由数学归纳法推导得到）：
由上式可知，求f(n)，只需要对矩阵求(n-1)次方即可，但此时时间复杂度仍为O(n)。利用乘方的性质
利用递归的思路计算乘方，即可将时间复杂度降低为O(longn)。这里给出对乘方函数的递归代码（引用）：
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if(n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if(n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
青蛙跳台阶问题
题目1：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
将跳法总数记为f(n)，可以知道f(1)=1，f(2)=2。当n>2时，第一次跳1级的话，还有f(n-1)种跳法；第一次跳2级的话，还有f(n-2)种跳法，所以可以推得f(n)=f(n-1)+f(n-2)，即为斐波那契数列。
题目2：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解法1：
当n=1时，f(1)=1。
当n大于1时，归纳总结可知：跳上n级台阶，第一次跳1级的话，有f(n-1)种方法；第一次跳2级的话，有f(n-2)种方法……第一次跳n-1级的话，有f(1)种方法；直接跳n级的话，有1种方法，所以可以得到如下公式：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+......f(1)+1 （n≥2）
f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+.....f(1)+1 （n>2）
由上面两式相减可得，f(n)-f(n-1)=f(n-1)，即f(n) = 2*f(n-1) (n>2)
最终结合f(1)和f(2)，可以推得：f(n)=2^(n-1)
解法2：
假设跳到第n级总共需要k次，说明要在中间n-1级台阶中选出任意k-1个台阶，即C(n-1,k-1)种方法。
所以：跳1次就跳上n级台阶，需要C(n-1,0)种方法；跳2次需要C(n-1,1)种方法……跳n次需要C(n-1,n-1)种方法
总共需要跳C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+……C(n-1,n-1)=2^(n-1)种方法。
解法3：
除了必须到达最后一级台阶，第1级到第n-1级台阶都可以有选择的跳，也就是说对于这n-1个台阶来说，每个台阶都有跳上和不跳上2种情况，所以一共有2^(n-1)种方法。
矩形覆盖问题
题目：用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
当n = 1时，有一种方法。
当n = 2时，有两种方法。
当n >= 3时，和斐波那契数列类似。第一步竖着放，有f(n-1)种方法；第一步横着放，有f(n-2)种方法。所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
收获
1.求n次方时，可以利用递归来降低时间复杂度
2.当遇到涉及n的问题时（类似青蛙跳台阶问题），不要紧张，可以进行归纳分析，特别注意f(n)与f(n-1)、f(n-2)等的关联，从而找出规律，进行合理建模。
3.return (int)Math.pow(2,target-1);
1) 转int类型
2）pow不是power
