严格次小生成树

[BJWC2010] 严格次小生成树

大体思路

不能算题解吧，就是简简单单记录一下，防止自己再忘了。

21 年暑假才学 LCA 时做过一下，但是一直 90。现在 22 年终于过了。

次小生成树一定只有一条边与最小生成树不同，具体证明看别的博客吧。

于是在求出最小生成树以及构成的树边之后可以枚举每条非树边，求两端点的路径上的最大值并替换，记录最值。

但是因为是严格次小，所以要路径上记录最大值和次大值，以防枚举的这条边的值和最大值一样。

算法流程：

1. 求最小生成树
2. bfs 预处理树上的信息，包括最大和次大值。
3. 枚举每条非树边，求 LCA 的过程中记录最大和次大值。
4. 记录答案

这道题注意的几个点

1. 答案的初始值要很大（我开的1e18）。
2. 要判断自环（重边看情况，Kruscal 不用判）。
3. 记录最大值和次大值的过程要注意去重，因为是严格！！！（我直接丢到一个数组里面，排序去重）。
4. LCA 不要写错了（我因为一个等号写掉调了 1h）。
5. 基记得初始化。

Code Time

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
 
inline int read(){
	int sum=0,f=1;char a=getchar();
	while(a<'0' || a>'9'){if(a=='-') 	f=-1;a=getchar();}
	while(a>='0' && a<='9') 	sum=sum*10+a-'0',a=getchar();
	return sum*f;
}
 
const int N=1e5+5,M=6e5+5;
vector<int> ed[N],l[N];
struct node{
	int x,y,z,mrk;
}e[M];
int fa[N][30],len[N][30][2],d[N];
int n,m,mi,ans=1e18;
int f[N];
int t1,t2;
 
int fi(int x){
	if(f[x]==x)	return x;
	return f[x]=fi(f[x]);
}
void mer(int x,int y){f[fi(x)]=fi(y);}
bool cmp(node _,node __){return _.z<__.z;}
void get_ma(int a1,int a2,int a3,int a4){
	int a[5]={0,a1,a2,a3,a4};
	sort(a+1,a+5);int tmp=unique(a+1,a+5)-a-1;
	t1=a[tmp],t2=a[tmp-1];
}
void kru(){
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)	f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(fi(e[i].x)!=fi(e[i].y)){
			++cnt;
			mer(e[i].x,e[i].y);
			mi+=e[i].z,e[i].mrk=1;
			ed[e[i].x].push_back(e[i].y);
			l[e[i].x].push_back(e[i].z);
			ed[e[i].y].push_back(e[i].x);
			l[e[i].y].push_back(e[i].z);
		}
		if(cnt==n-1)	return;
	}
}
void bfs(){
	queue<int> q;
	q.push(1);d[1]=1;
	while(q.size()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<ed[x].size();++i){
			int y=ed[x][i];
			if(d[y])	continue;
			d[y]=d[x]+1,fa[y][0]=x,len[y][0][1]=l[x][i];
			q.push(y);
			for(int j=1;j<=20;++j)
				fa[y][j]=fa[fa[y][j-1]][j-1];
			for(int j=1;j<=20;++j){
				get_ma(len[y][j-1][1],len[y][j-1][0],len[fa[y][j-1]][j-1][1],len[fa[y][j-1]][j-1][0]);
				len[y][j][1]=t1,len[y][j][0]=t2;
			}
		}
	} 
}
void lca(int x,int y){
	t1=-1,t2=-1;
	if(d[x]<d[y])	swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;--i)
		if(d[fa[x][i]]>=d[y]){
			get_ma(t1,t2,len[x][i][0],len[x][i][1]);
			x=fa[x][i];
		}
	if(x==y)	return;
	for(int i=20;i>=0;--i)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
			get_ma(t1,t2,len[x][i][0],len[x][i][1]);
			get_ma(t1,t2,len[y][i][0],len[y][i][1]);
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
		}
	get_ma(t1,t2,len[x][0][0],len[x][0][1]);
	get_ma(t1,t2,len[y][0][0],len[y][0][1]);
}
 
signed main(){
	
	int x,y,z;
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		e[i].x=read(),e[i].y=read(),e[i].z=read();
		if(e[i].x==e[i].y)	--i,--m;
	}
	
	kru();bfs();
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(!e[i].mrk){
			lca(e[i].x,e[i].y);
			ans=min(ans,mi+e[i].z-t2);
			if(e[i].z!=t1)	ans=min(ans,mi+e[i].z-t1);
		}
	printf("%lld",ans);
	
	return 0;
}