最近公共祖先（LCA）
最近公共祖先（LCA）
倍增求LCA
维护数组 \(f[ i ][ j ]\) 表示\(i\) 号节点的第\(2^j\) 级祖先，没有则为\(0\)
转移方程：
\[f[i][j] =f[f[i][j-1]][j-1] (j>0)
\]
\[f[i][j]=fa[i] (j=0)
\]
- 相同深度求LCA:
将k从大到小循环，如果\(x\)，\(y\) 的\(2^k\) 级祖先相同则不做改变，不同则将 \(x\) ，\(y\) 更新为各自的\(2^k\) 级祖先。
当 \(k=0\) 时，LCA为此时 \(x\) ，\(y\) 的父亲
- 不同深度求LCA:
令 \(dep[a]>dep[b]\) ，将 \(a\) 向上跳，直到 \(a\) 的深度与 \(b\) 的深度相同为止，于是变转换为 相同深度求 LCA
时间复杂度：
预处理： \(O(nlogn)\) ，单词询问： \(O(logn)\)
空间复杂度： \(nlogn\)
代码示例：
预处理：
void bfs(int root){
memset(d,0x3f,sizeof d);
d[root]=1,d[0]=0;
queue<int> q;
q.push(root);
while(q.size()){
int t=q.front();
q.pop();
for(int i=h[t];i;i=nxt[i]){
int x=en[i];
if(d[x]>d[t]+1){
d[x]=d[t]+1;
q.push(x);
f[x][0]=t;
for(int j=1;j<=15;j++)
f[x][j]=f[f[x][j-1]][j-1];
}
}
}
}
主体：
int lca(int a,int b){
if(d[a]<d[b]) swap(a,b);
for(int i=15;i>=0;i--)
if(d[f[a][i]]>=d[b]) a=f[a][i];
if(a==b) return a;
for(int i=15;i>=0;i--)
if(f[a][i]!=f[b][i])
a=f[a][i],b=f[b][i];
return f[a][0];
}
tarjan求LCA
利用递归的回溯做标记，遍历一次后标记为\(1\) ，回溯后标记为\(2\)
把询问转换成离线做法，先把所有的询问存下来，最后统一输出
优化用到了并查集的思想，回溯后将此点与其父亲节点合并，答案返回集合的父亲节点
代码示例：
存询问：
void add_qu(int a,int b,int i){
qu[a].push_back(b),id[a].push_back(i);
qu[b].push_back(a),id[b].push_back(i);
}
主体：
void targan(int x){
v[x]=1;
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=en[i];
if(v[y]) continue;
targan(y);
f[y]=x;
}
for(int i=0;i<qu[x].size();i++){
int y=qu[x][i],idd=id[x][i];
if(v[y]!=2) continue;
ans[idd]=get(y);
}
v[x]=2;
}
时间复杂度： \(O(n+m)\)
还是贴个完整代码吧：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5,M=N*2;
int h[N],nxt[M],en[M],m;
vector<int> qu[N],id[N];
int root;
int v[N],ans[N],f[N];
void add(int a,int b){
nxt[++m]=h[a],en[m]=b,h[a]=m;
}
void add_qu(int a,int b,int i){
qu[a].push_back(b),id[a].push_back(i);
qu[b].push_back(a),id[b].push_back(i);
}
int get(int x){
if(f[x]==x) return x;
return f[x]=get(f[x]);
}
void targan(int x){
v[x]=1;
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=en[i];
if(v[y]) continue;
targan(y);
f[y]=x;
}
for(int i=0;i<qu[x].size();i++){
int y=qu[x][i],idd=id[x][i];
if(v[y]!=2) continue;
ans[idd]=get(y);
}
v[x]=2;
}
int main(){
int n,k;
scanf("%d%d%d",&n,&k,&root);
for(int i=1;i<n;i++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
add(a,b),add(b,a);
f[a]=a,f[b]=b;
}
for(int i=1;i<=k;i++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
if(a==b) ans[i]=a;
else add_qu(a,b,i);
}
f[root]=root;
targan(root);
for(int i=1;i<=k;i++) printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
