ST表（倍增表）

介绍 st表 之前先看看 RMQ 问题是什么东西吧

RMQ

RMQ : Range Maximum/minimum Query

顾名思义，这就是指区间最大或最小值（区间最值）

ST表

ST表：Spars Table，一种可以解决 RMQ 的，基于 倍增 的数据结构

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令 $f[i][j]$ 表示从 $i$ 开始连续 $2^j$ 个数中的最值，如果 $i$ 后面的数不足 $2^j$ 个则全取

转移方程：

$$f[i][j]=\left\{\begin{aligned} &min/max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])& &,& &j>0,i+2^{j-1}\leq n&\\ &f[i][j-1]& &,& &j>0,i+2^{j-1}>n&\\ &a[i]& &,& &j=0& \end{aligned}\right.$$

• $f$ 数组可以递推得到

代码：

int x=log(n)/log(2);
for(int j=1;j<=x;j++)
	for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

时间复杂度： $O(nlog(n))$

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询问方式：

询问区间为 $[l,r]$ ，设 $x=\lfloor{log_2(l-r+1)}\rfloor$ ，则区间 $[l,l+2^x-1]$ 和 区间 $[r-2^x+1,r]$ 一定覆盖了 $[l,r]$ 这个区间内所有元素

所以答案为： $min(f[l][x],f[r-2^x-1][x])$

小优化：对于 $1$ ~ $n$ 每一个数先预处理 $log(x)$ 下取整的结果，每次讯问时即为 $O(1)$ 的复杂度

代码：

lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)    lg[i]=lg[i/2]+1;
 
for(int i=1;i<=m;i++){
    int le,r;
    scanf("%d%d",&le,&r);
    
    int x=r-le+1;
    printf("%d\n",max(f[le][lg[x]],f[r-(1<<lg[x])+1][lg[x]]));
}

几道练手题：

1. 模板题
2. 另一道模板题 （貌似树状数组和线段树也能做）

需要思考一下的题：

1. 序列
2. Foutain