康托展开

　　一个老生常谈的问题，给定一个两两不同字符的排列x，问其在所有排列情况中的排名。

　　很容易得到第一种暴力思路，先找到其所有字符集合的最小排列，再利用c++的next_permutation()函数不断寻找，直到找到原排列。思路清晰，代码简单，时间复杂度却是高达 O(n!) ，可以解决n<=11的情况（如蓝桥杯某年国赛的一道题），但是n一大就会暴死。

　　于是引入优化。设排列长度为n，先考虑原排列的第一个字符x1，设x在原排列中的排名为a1，显然，其存在使得原排序大于所有第一个字符小于x1的排列，这些排列的总数为(a1-1)*(n-1)! 。接下去考虑第二个字符x2，其排名为a2，故而其对答案的贡献为x1在第一位且第二位小于x2的所有排列总数。依此类推，第 i 位字符对答案的贡献为第 i 位右侧小于第 i 位字符个数乘以(n-i)! 。阶乘可以通过预处理得到，问题在于如何寻找第 i 位右侧小于第 i 位字符个数。考虑暴力求解，直接循环求解，时间复杂度为O(n^2)，依然不够快。

　　继续优化，考虑使用线段树或者树状数组。首先明确问题的优化方向为加速寻找第 i 位右侧小于第 i 位字符个数。考虑离散化建立原排序对应出现次数的数组c，明显初始时c的值全部为1，查询第 i 位右侧小于第 i 位字符个数即为查询c数组下标1到x[i]-1的区间和，每次修改时将c[x[i]]置为0即可，这明显可使用线段树或者树状数组进行维护，因为其本质即单点修改，区间查询。这样，总时间复杂度为O(nlogn)。

例题：P5367 【模板】康托展开

　　代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=(1e6)+5;
const int modd=998244353;
ll c[maxn];
ll a[maxn];
ll tree[maxn];
int n;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void update(int i,int x){
    while(i<=n){
        tree[i]=(tree[i]+x)%modd;
        i+=lowbit(i);
    }
}
ll query(int i){
    ll res=0;
    while(i>0){
        res=(res+tree[i])%modd;
        i-=lowbit(i);
    }
    return res;
}
ll f[maxn];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>c[i];
        update(i,1);
    }
    ll ans=1;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)f[i]=f[i-1]*i%modd;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=(ans+query(c[i]-1)*f[n-i]%modd)%modd;
        update(c[i],-1);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}