前缀和与差分

　　前缀和与差分是最基础的算法，也是最简单的算法之一。不过它们是降低时间复杂度的有力算法，利用前缀和或差分进行预处理，往往可以将时间复杂度降低一个n的规模。给定一个数组a[n]，设第i个前缀和为s[i],第i个差分为d[i],s[i]就是从第1个元素到第i个元素的数的总和，d[i]就是a[i]-a[i-1]。s[i]=s[i-1]+a[i]。我们容易看出，前缀和与差分互为逆过程。那么，它们有什么用处呢？假如说我们要求一段区间[l,r]之和，按照朴素算法思想，我们需要从区间首加到区间尾部，如果要求m次区间和，复杂度高达O(mn),这显然无法接受，于是我们可以使用前缀和，以O(n)的复杂度预处理出前缀和，之后每次询问只要输出s[r]-s[l-1]即可，时间复杂度降低至O(m+n)，可以接受。差分的运用更有意思，假设我们每次对一段区间[l,r]上的所有数据同时进行加减操作，例如同时加上x，求m次的操作之后数组每个的值是多少。按照朴素算法思想，直接对题意进行模拟操作，时间复杂度高达O(mn),无法接受。于是我们想到了差分，我们定义一个差分数组d[n],其中d[i]=a[i]-a[i-1]，进行操作时，只需要d[l]+=x,d[r+1]-=x即可，这样可以直接表示出这个操作，最后对差分数组d[i]求前缀和即可得到答案。

　　先来一道前缀和的例题。

　　

题目描述

小 K 打下的江山一共有n个城市，城市ii和城市i+1有一条双向高速公路连接，走这条路要耗费时间ai​。

小 K 为了关心人民生活，决定定期进行走访。他每一次会从1号城市到n号城市并在经过的城市进行访问。其中终点必须为城市n。

不仅如此，他还有一个传送器，传送半径为k，也就是可以传送到i-k和i+k。如果目标城市编号小于1则为1，大于n则为n。

但是他的传送器电量不足，只能传送一次，况且由于一些原因，他想尽量快的完成访问，于是就想问交通部部长您最快的时间是多少。

注意：他可以不访问所有的城市，使用传送器不耗费时间

输入格式

两行，第一行n,k。

第二行n-1个整数，第i个表示ai​。

输出格式

一个整数，表示答案。

输入输出样例

输入 #1

4 0

1 2 3

输出 #1

6

　　总之就是非常简单，找到区间长度为k的区间中区间和最大的，再用总和减去它，就得到了答案。

　　代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int maxn=(1e6)+5;
using namespace std;
int n,k;
ll a[maxn];
ll sum[maxn];
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    ll t=0;
    for(int i=0;i<=n-1-k;i++){
        t=max(t,sum[i+k]-sum[i]);
    }
    ll ans=sum[n-1]-t;
    if(k>=n-1)ans=0;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

再来一道差分的例题

Color the ball

Time Limit: 9000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 45070    Accepted Submission(s): 20817

Problem Description

N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

Input

每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。
当N = 0，输入结束。

Output

每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

Sample Input

3 1 1 2 2 3 3 3 1 1 1 2 1 3 0

Sample Output

1 1 1 3 2 1

 

　　差分的模板题，不用多说，就是前面所说的套路。

　　以下为代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int d[maxn],a[maxn];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n){
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(d,0,sizeof(d));
        int x,y;
        int m=n;
        while(m--){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            d[x]+=1;
            d[y+1]-=1;
        }
        for(int i=1;i<n;i++){
            a[i]=a[i-1]+d[i];
            printf("%d ",a[i]);
        }
        a[n]=a[n-1]+d[n];
        printf("%d\n",a[n]);//卡格式
        scanf("%d",&n);
    }
    return 0;
}