一、实验目的
在己知f(x),x∈[a,b]的表达式,但函数值不便计算或不知f(x),x∈[a,b]而又需要给出其在[a,b]上的值时,按插值原则f(xi)=yi (i=0,1,……, n)求出简单函数P(x)(常是多项式),使其在插值基点xi处成立(xi)= yi(i=0,1,……,n),而在[a,b]上的其它点处成立f(x)≈P(x).
二、实验原理
三、实验内容
求f(x)=x4在[0,2]上按5个等距节点确定的Lagrange插值多项式
四、实验程序
(1).m文件
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 | %输入的量:X是n+1个节点(x_i,y_i)(i = 1,2, ... , n+1)横坐标,Y是纵坐标, %x是以向量形式输入的m个插值点,M在[a,b]上满足|f~(n+1)(x)|≤M %注:f~(n+1)(x)表示f(x)的n+1阶导数 %输出的量:向量y是向量x处的插值,误差限R,n次牛顿插值多项式L及其系数向量C, %差商的矩阵A function [y,R,A,C,L] = newton(X,Y,x,M) n = length (X); m = length (x); for t = 1 : m z = x(t); A = zeros (n,n); A(:,1) = Y'; s = 0.0; p = 1.0; q1 = 1.0; c1 = 1.0; for j = 2 : n for i = j : n A( i , j ) = (A( i , j -1) - A( i -1, j -1))/(X( i )-X( i - j +1)); end q1 = abs (q1*(z-X( j -1))); c1 = c1 * j ; end C = A(n, n); q1 = abs (q1*(z-X(n))); for k = (n-1):-1:1 C = conv (C, poly (X(k))); d = length (C); C(d) = C(d) + A(k,k); %在最后一维,也就是常数项加上新的差商 end y(t) = polyval (C,z); R(t) = M * q1 / c1; end L = poly2sym(C); |
(2)命令窗口输入
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | X = [0 0.5 1.0 1.5 2.0]; Y = [0 0.0625 1 5.0625 16]; x = linspace (0, pi ,50); M = 1; [y,R,A,C,L] = newton(X, Y, x, M); y1 = x.*x.*x.*x; %可根据所给函数更改 errorbar (x,y,R, '.g' ) hold on plot (X, Y, 'or' , x, y, '.k' , x, y1, '-b' ); legend ( '误差' , '样本点' , '牛顿插值估算' , 'x^4' ); |
五、运算结果
(1) 图像
(2) 运算结果
第一列为所得多项式系数:
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数值分析
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